Bài tập
Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$
Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$
Bài tập
Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$
Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$
Cho a,b,c>0 ; a+b+c =6. CMR $(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{729}{512}$
Cho a,b,c>0 ; a+b+c =6. CMR $(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{729}{512}$
áp dụng bđt $(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (1+abc)^3$ (đấy chính là bđt hoder)
ta có $VT\geq (1+\frac{1}{abc})^3 \geq (1 +\frac{1}{\frac{(a+b+c)^3}{27}})^3=( \frac{9}{8})^3=\frac{729}{512}$
đpcm
tàn lụi
cho a,b,c duong , a+b+c=1 chung minh rang
$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geqslant (a\sqrt{ a}+b\sqrt{ b}+c\sqrt{ c})^{2}$
(bai nay minh dang roi nhung khong ai tra loi nen dang lai de moi nguoi giai )
Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ cmr $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$
, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$
BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$
Tương tự
$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$
$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$
BĐT cần chứng minh
$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$
Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng
Ta có đpcm
Học gõ công thức toán học tại đây
Hướng dẫn đặt tiêu đề tại đây
Hướng dẫn Vẽ hình trên diễn đàn toán tại đây
--------------------------------------------------------------
Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :
$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$$
(Chẳng hiểu sao không ghi số thự tự vô cho dễ nhìn nhỉ ?)
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$
BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$
Tương tự
$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$
$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$
BĐT cần chứng minh
$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$
Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng
Ta có đpcm
Bạn ơi chỗ đó phải là $\sqrt{\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{4^{3}}}$ mới đúng chứ, nhưng của bạn chỉ là 4 thôi như thế cái CM lại ko đúng
@: uk chắc mình giải vội quá mà mình thấy đề này sao á@
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 03-08-2013 - 09:31
Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :
$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$$
(Chẳng hiểu sao không ghi số thự tự vô cho dễ nhìn nhỉ ?)
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2} \geq a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}$$ (1)
Ta có:
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}=\frac{b(c^3+a^3)}{c^2a^2} \geq \frac{bca(c+a)}{c^2a^2}=\frac{b(c+a)}{ca}$$
Tương tự ta có (1)
$\Rightarrow$ đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 03-08-2013 - 11:32
cho a,b,c duong , a+b+c=1 chung minh rang
$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geqslant (a\sqrt{ a}+b\sqrt{ b}+c\sqrt{ c})^{2}$
(bai nay minh dang roi nhung khong ai tra loi nen dang lai de moi nguoi giai )
Ta có
$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$
$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Bài toán qui về chứng minh
$4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$ (1)
Mặt khác ta lại có
0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-2ab)>0$
$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức
Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatduy01: 04-08-2013 - 21:11
Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ cmr $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$
Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng bạn ạ
Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$
Ta có
$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$
$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Bài toán qui về chứng minh
$4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$ (1)
Mặt khác ta lại có
0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-2ab)>0$
$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức
Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức
Bạn nhầm chỗ này oy
$4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$ (1)
phải là $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0 (1)$
P/s: Bài này trong Sáng tạo BĐT
BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2} \geq a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}$$ (1)
Ta có:
$$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}=\frac{b(c^3+a^3)}{c^2a^2} \geq \frac{bca(c+a)}{c^2a^2}=\frac{b(c+a)}{ca}$$
Tương tự ta có (1)
$\Rightarrow$ đpcm
Cách khác :
Theo $AM-GM$ :
$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{b}{a}\geq \frac{2b}{c}$$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế :
$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\Rightarrow VP\geq 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b} +\frac{a}{c}\right )$$
Do đó cần chứng minh :
$$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b} +\frac{a}{c}\right )\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\Leftrightarrow \frac{b-c}{a}+\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}\geq 0$$
Vì $a,b,c$ vai trò như nhau nên giả sử $b\geq a\geq c$ thì ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 03-08-2013 - 15:34
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
$\frac{t+8}{\sgrt{t}+1}$
Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng bạn ạ
Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$
mình cũng ko rõ, tờ đề của thầy giáo là như thế, để đến thứ 6 tuần sau xem thế nào đã nhé
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$\frac{t^2+8}{t+1}$
Đặt $\frac{t^{2}+8}{t+1}=a$
$\Rightarrow$$t^{2}+8=at+a$ $\Rightarrow t^{2}+8-at-a=0\Rightarrow t^{2}-at+(8-a)=0$
$\Rightarrow \Delta =a^{2}-4(8-a)=a^{2}-32+4a$
Để pt có nghiệm thì $\Delta \geqslant 0$
$\Leftrightarrow a^{2}+4a-32\geq 0 \Leftrightarrow (a+2)^{2}\geq 36 \Leftrightarrow a+2\geq 6$ hoặc $a+2\leq -6$
Từ đó suy ra $a\leq -8$ hoặc $a\geq 4$
$\Rightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}\geq 4.$
_ Dấu ''='' xẩy ra $\Leftrightarrow a=4 \Leftrightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}=4$
_Phần sau tự tìm kq nhé
P/s : đó chỉ là cách mình sử dụng $\Delta$ để giải bài thui, nếu bạn không biết thì sau khi tìm đc GTNN rùi lật ngược lại bằng cách phân tích nhé
Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :
$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-08-2013 - 11:20
Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
Welcome to My Facebook !
Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :
$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$
anh ơi cái này cứ như AM=GM ý nhỉ
Ta có
$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$
$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
Bài toán qui về chứng minh
$4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0$ (1)
Mặt khác ta lại có
0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-4ab)>0$
$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức
Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức
cho boi do co van de
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh