Chủ đề này có 1205 trả lời

[Mori Ran]

Bài tập 

Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$

Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$ 

[Mori Ran]

Cho a,b,c>0 ; a+b+c =6. CMR $(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{729}{512}$

[Ha Manh Huu]

Cho a,b,c>0 ; a+b+c =6. CMR $(1+\frac{1}{a^{3}})(1+\frac{1}{b^{3}})(1+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{729}{512}$

áp dụng bđt $(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)\geq (1+abc)^3$ (đấy chính là bđt hoder)

ta có $VT\geq (1+\frac{1}{abc})^3 \geq (1 +\frac{1}{\frac{(a+b+c)^3}{27}})^3=( \frac{9}{8})^3=\frac{729}{512}$

đpcm 

[hoctrocuanewton]

cho a,b,c duong , a+b+c=1 chung minh rang

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geqslant (a\sqrt{ a}+b\sqrt{ b}+c\sqrt{ c})^{2}$

(bai  nay minh dang roi nhung khong ai tra loi nen dang lai de moi nguoi giai  )

[Mori Ran]

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ cmr $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

[Yagami Raito]

, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$

BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 

$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$

 

Tương tự 

  

$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$

 

$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$

 

BĐT cần chứng minh 

$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$

 

Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng

Ta có đpcm 

[Juliel]

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$$

 

(Chẳng hiểu sao  không ghi số thự tự vô cho dễ nhìn nhỉ ?)

[Mori Ran]

, Do $(a-1)+(b-1)+(c-1)=a+b+c-3=0$ nên $(a-1)^3+(b-1)^3+(c-1)^3=-3(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2)$

BĐT cần chứng minh tương đương $(a+b-2)(b+c-2)(c+a-2) \leq 4$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

 

$(a+b-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+b)^2}{4}$

 

Tương tự 

  

$(a+b-2)(c+a-2) \leq \frac{(1+a)^2}{4}$

 

$(c+a-2)(b+c-2) \leq \frac{(1+c)^2}{4}$

 

BĐT cần chứng minh 

$\sqrt{\frac{(1+a)^2.(1+b)^2.(1+c)^2}{4}}\leq 4\Leftrightarrow \frac{(1+a)(1+b)(1+c)}{2}\leq 4$

 

Tới đây tiếp tục áp dụng AM-GM thì BĐT cuối đúng

Ta có đpcm 

Bạn ơi chỗ đó phải là $\sqrt{\frac{(a+1)^{2}(b+1)^{2}(c+1)^{2}}{4^{3}}}$ mới đúng chứ, nhưng của bạn chỉ là 4 thôi như thế cái CM lại ko đúng

 

@: uk chắc mình giải vội quá mà mình thấy đề này sao á@

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 03-08-2013 - 09:31

[trandaiduongbg]

Chứng minh bất đẳng thức sau với các số dương $a,b,c$ :

$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )$$

 

(Chẳng hiểu sao  không ghi số thự tự vô cho dễ nhìn nhỉ ?)

BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2} \geq a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}$$ (1)

Ta có:

 $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}=\frac{b(c^3+a^3)}{c^2a^2} \geq \frac{bca(c+a)}{c^2a^2}=\frac{b(c+a)}{ca}$$

Tương tự ta có (1)

$\Rightarrow$ đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 03-08-2013 - 11:32

[nhatduy01]

cho a,b,c duong , a+b+c=1 chung minh rang

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}\geqslant (a\sqrt{ a}+b\sqrt{ b}+c\sqrt{ c})^{2}$

(bai  nay minh dang roi nhung khong ai tra loi nen dang lai de moi nguoi giai  )

Ta có 

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$

$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

   Bài toán qui về chứng minh

                      $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$    (1)

Mặt khác ta lại có

    0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-2ab)>0$

$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức

Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatduy01: 04-08-2013 - 21:11

[Trang Luong]

Cho $a,b,c\geq 0;a+b+c=3$ cmr $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{-3}{4}$

Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng  bạn ạ

Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$

[Trang Luong]

Ta có 

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$

$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

   Bài toán qui về chứng minh

                      $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$    (1)

Mặt khác ta lại có

    0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-2ab)>0$

$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức

Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức

Bạn nhầm chỗ này oy 

   $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$    (1)

phải là $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0 (1)$

P/s: Bài này trong Sáng tạo BĐT 

[Juliel]

BDT $\Leftrightarrow$ $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2} \geq a(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+b(\frac{1}{c}+\frac{1}{a})+c(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=\frac{a(b+c)}{bc}+\frac{b(c+a)}{ca}+\frac{c(a+b)}{ab}$$ (1)

Ta có:

 $$\frac{ab}{c^2}+\frac{bc}{a^2}=\frac{b(c^3+a^3)}{c^2a^2} \geq \frac{bca(c+a)}{c^2a^2}=\frac{b(c+a)}{ca}$$

Tương tự ta có (1)

$\Rightarrow$ đpcm

Cách khác :

Theo $AM-GM$ :

$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{b}{a}\geq \frac{2b}{c}$$

Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng vế :

$$\frac{ab}{c^{2}}+\frac{bc}{a^{2}}+\frac{ca}{b^{2}}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )\Rightarrow VP\geq 2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b} +\frac{a}{c}\right )$$

Do đó cần chứng minh :

$$2\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )-\left ( \frac{b}{a}+\frac{c}{b} +\frac{a}{c}\right )\geq \frac{1}{2}\left ( \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \right )\Leftrightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\Leftrightarrow \frac{b-c}{a}+\frac{a-c}{b}+\frac{b-a}{c}\geq 0$$

Vì $a,b,c$ vai trò như nhau nên giả sử $b\geq a\geq c$ thì ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 03-08-2013 - 15:34

[tuanlinh2013]

$\frac{t+8}{\sgrt{t}+1}$

[tuanlinh2013]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{t^2+8}{t+1}$

[Mori Ran]

Đề bài hình như sai thì phải. Mik ko thề tìm thấy dấu bằng  bạn ạ

Hình như phải là $(a-1)^{3}+(b-1)^{3}+(c-1)^{3}\geq \frac{3}{4}$

mình cũng ko rõ, tờ đề của thầy giáo là như thế, để đến thứ 6 tuần sau xem thế nào đã nhé

[Mori Ran]

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$\frac{t^2+8}{t+1}$

Đặt $\frac{t^{2}+8}{t+1}=a$

$\Rightarrow$$t^{2}+8=at+a$ $\Rightarrow t^{2}+8-at-a=0\Rightarrow t^{2}-at+(8-a)=0$

$\Rightarrow \Delta =a^{2}-4(8-a)=a^{2}-32+4a$

Để pt có nghiệm thì $\Delta \geqslant 0$

$\Leftrightarrow a^{2}+4a-32\geq 0 \Leftrightarrow (a+2)^{2}\geq 36 \Leftrightarrow a+2\geq 6$ hoặc $a+2\leq -6$

Từ đó suy ra $a\leq -8$ hoặc $a\geq 4$ 

$\Rightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}\geq 4.$

_ Dấu ''='' xẩy ra $\Leftrightarrow a=4 \Leftrightarrow \frac{t^{2}+8}{t+1}=4$

_Phần sau tự tìm kq nhé
P/s : đó chỉ là cách mình sử dụng $\Delta$ để giải bài thui, nếu bạn không biết thì sau khi tìm đc GTNN rùi lật ngược lại bằng cách phân tích nhé 

[Juliel]

Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :

 

$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 16-08-2013 - 11:20

[Mori Ran]

Cho các số dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$, chứng minh BĐT :

 

$$\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}+\frac{2^{n}.a_{1}a_{2}...a_{n}}{(a_{1}+a_{2})(a_{2}+a_{3})...(a_{n-1}+a_{n})(a_{n}+a_{1})}\geq n+1$$

anh ơi cái này cứ như AM=GM ý nhỉ

[hoctrocuanewton]

Ta có 

$\frac{a}{4b^{2}+1}+\frac{b}{4c^{2}+1}+\frac{c}{4a^{2}+1}$$=\frac{a^{3}}{4a^{2}b^{2}+a^{2}}+\frac{b^{3}}{4b^{2}c^{2}+b^{2}}+\frac{c^{3}}{4c^{2}a^{2}+c^{2}}$

$\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^{2}}{4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

   Bài toán qui về chứng minh

                      $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0$    (1)

Mặt khác ta lại có

    0<ab$\leq (\frac{a+b}{2})^{2}<(\frac{a+b+c}{2})^{2}=\frac{1}{4}$$\Rightarrow ab(1-4ab)>0$

$\Rightarrow (1)$ đúng và không xảy ra đẳng thức

Bài toán được chứng minh và không xảy ra đẳng thức

 

cho boi do co van de