Chủ đề này có 1205 trả lời

[nhatduy01]

cho boi do co van de

mình sửa lại rồi đó

[hoctrocuanewton]

Bạn nhầm chỗ này oy 

   $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-2ab)+bc(1-2bc)+ca(1-2ca)\geq 0$    (1)

phải là $4(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})+a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 1=(a+b+c)^{2}\Leftrightarrow ab(1-4ab)+bc(1-4bc)+ca(1-4ca)\geq 0 (1)$

P/s: Bài này trong Sáng tạo BĐT 

khong nham dau sach giai sai do ! duoc moi dau bang la dung thoi

[hoctrocuanewton]

mình sửa lại rồi đó

van co dau ban khi 1 trong 3 so bang 1 va 2 so con lai bang 0

[nhatduy01]

van co dau ban khi 1 trong 3 so bang 1 va 2 so con lai bang 0

đề bài của bạn là a,b,c dương mà ,làm sao 2 số bằng 0 được

[hoctrocuanewton]

đề bài của bạn là a,b,c dương mà ,làm sao 2 số bằng 0 được

xin loi minh nham . Cam on ban da giai cho minh

[Mori Ran]

Giải hộ mình bài này nhé :

CHO  $A=(a+b)(b+c)(c+a)$  ,$a,b,c \geq 0$$ ,abc=1$ 

CMR $A+1 \geq 3(a+b+c)$

_ Ta có : $A=(a+b)(b+c)(c+a)$ mà abc=1 

$\Rightarrow A=\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=\frac{a+b}{a}.\frac{b+c}{b}.\frac{a+c}{c}=(1+\frac{b}{a})(1+\frac{c}{b})(1+\frac{a}{c})$

$\Rightarrow A+1=3abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}$

Mà ta có :

$\left\{\begin{matrix} abc+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\geq 3a\\ abc+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\geq 3b\\ abc+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}\geq 3c \end{matrix}\right.$

Cộng các vế vào ta đc $A+1\geq 3(a+b+c)(dpcm)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mori Ran: 05-08-2013 - 16:19

[hungbn78]

ai làm dc bài này k: cho a,b,c la độ dài các cạnh của 1 △ . c/m nếu: $a^2+b^2>5c^2$ thì c là cạnh nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hungbn78: 06-08-2013 - 09:45

[Trang Luong]

ai làm dc bài này k: cho a,b,c la độ dài các cạnh của 1 △ . c/m nếu: $a^2+b^2>5c^2$ thì c là cạnh nhỏ nhất

Giả sử c là cạnh lớn nhất, Ta cm trái vs điều giả sử:

Nếu $c\geq b\Rightarrow 2c\geq c+b>a\Rightarrow 4c^{2}>a^{2}$

mà $c^{2}\geq b^{2}\Rightarrow 5c^{2}>a^{2}+b^{2}$ vô lý

Nếu $c\geq a$ cm tương tự như trên

Vậy c là cạnh nhỏ nhất

[Master Key 99]

CMR với mọi số thực $\neq$0 x,y ta có: x^2/y^2+4$\geqslant$3(x/y+y/x)

giải;$\Leftrightarrow$(x/y+y/x)^2+2$\geqslant$3(x/y+y/x)

       Đặt x/y+y/x=t thay vào ta có t^2+2$\geqslant$3t

                  sau đó biến đổi tương đương là ra

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Master Key 99: 12-08-2013 - 16:00

[Mori Ran]

Giúp mình nhé:

 

Bài 1: Cho x> xy+1 Tìm max : $P=\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$

 

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$

 

Bài 3: Co a,b khác 0 thỏa mãn $2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm min $S= ab+2014$

Bài 4: Với x>0 tìm min $M=4x^{2}-3x+\frac{1}{4x}+2013$

 

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

 

Bài 6: CM $\frac{1}{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^{3}}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{3}}+...+\frac{1}{(\sqrt{2009}+\sqrt{2011})^{3}}< \frac{1}{8}(1-\frac{1}{\sqrt{2011}})$

 

Bài 7: Cho $x^{2}+y^{2}=1$ Tìm min $M=\sqrt{3}xy +y^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mori Ran: 14-08-2013 - 14:56

[hoctrocuanewton]

Giúp mình nhé:

 

 

 

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$  

 

 

$x^{2}+y^{2}\geqslant \frac{(x+y)^{2}}{2}= 8$

$xy\leqslant \frac{(x+y)^{2}}{4}=4$

suy ra P $\geqslant 8+\frac{33}{4}=16,25$

vậy min P=16,25

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 14-08-2013 - 10:18

[Simpson Joe Donald]

 

Bài 3: Co a,b khác 0 thỏa mãn $2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm min $S= ab+2014$

 

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+x^{2}}\geq \sqrt{5}$

 

Bài 3: Ta có:

$4=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2+a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab-ab+2 \\ =\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\ge -ab+2 \\ \implies ab\ge 2\implies S\ge 2016$

Bài 5 mình nghĩ đề là:

CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Simpson Joe Donald: 14-08-2013 - 10:53

[Mori Ran]

Bài 3: Ta có:

$4=a^2+\dfrac{1}{a^2}-2+a^2+\dfrac{b^2}{4}+ab-ab+2 \\ =\left(a-\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(a+\dfrac{b}{2}\right)^2-ab+2\ge -ab+2 \\ \implies ab\ge 2\implies S\ge 2016$

Bài 5 mình nghĩ đề là:

CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

úng bài 5 là như vậy bạn làm giúp mình nhé mình nhầm

[Trang Luong]

Giúp mình nhé:

 

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

 

Áp dụng BĐT Mincopxiki

Ta có : $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}=\sqrt{2\left (x+\frac{y}{4} \right )^{2}+\frac{15y^{2}}{8}}+ \sqrt{2\left (y+\frac{z}{4} \right )^{2}+\frac{15z^{2}}{8}}+\sqrt{2\left (z+\frac{x}{4} \right )^{2}+\frac{15x^{2}}{8}}\geq \sqrt{\left ( \sqrt{2}\sum x+\sum \sqrt{2}\frac{x}{4} \right )^{2}+\left ( \sqrt{\frac{15}{8}\sum x} \right )^{2}} =\sqrt{5}$

[Dung Dang Do]

$4x^2+\frac{1}{4x}-3x+2013= (2x^2+2x^2+\frac{1}{4x})-3x+2013\ge 3x-3x+2013\ge 2013$

[Mori Ran]

Cho mình hỏi tiếp nhé ( quả thực mình có rất nhiều BĐT nhưng lại chẳng biết làm,  ngại quá )

Bài 8: Cho a,b,c >0 CMR $\frac{2ab}{3a+8b+6c}+\frac{3bc}{3b+6c+a}+\frac{3ca}{9c+4a+4b}\leq \frac{a+2b+3c}{9}$

 

Bài 9: Cho a,b,c >0 CMR : $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

 

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?

 

Bài 10: Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ ; $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ . Tìm GTNN  $S=x^{2}+3xy-2y^2-8y+5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mori Ran: 16-08-2013 - 15:05

[Mori Ran]

Bài tập 

Cho $a,b,x,y \epsilon \mathbb{R};x^{2}+y^{2}=1; a+b=2.$

Tìm GTLN : $M= ax+by+ab$ 

$M= ax+by+ab \leq \left | ax+by \right |+ab\leq \sqrt{(a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})}+ab$

$\Rightarrow M\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{(a^{2}+b^{2}).2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{a^{2}+b^{2}+2}{2}+ab$

$\Rightarrow M\leq \frac{a^{2}+b^2+2+2\sqrt{2}ab}{2\sqrt{2}}$

$\Rightarrow M\leq \frac{(a+b)^2+2+(2\sqrt{2}-2)ab}{2\sqrt{2}}$

CMTT dùng Cô-si sẽ ra $M\leq \sqrt{2}+1$

Dấu = xaye ra khi và chỉ khi a=b=1 ; $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$

[25 minutes]

Bài 10: Cho $x,y \epsilon \mathbb{R}$ ; $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$ . Tìm GTNN  $S=x^{2}+3xy-2y^2-8y+5$

ĐK : $x,y \geqslant 1$

Ta có $x\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=y\sqrt{y}+\sqrt{y-1}$ (*)

Giả sử $x>y$, ta có VT(*) > VP(*)

Giả sử $x<y$, ta có VT(*) < VP(*)

$\Rightarrow x=y \geqslant 1$

Khi đó $S=x^2+3x^2-2x^2-8x+5=2x^2-8x+5=2(x-2)^2-3\geqslant -3$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=2$

[daicahuyvn]

Giúp mình nhé:

 

Bài 1: Cho x> xy+1 Tìm max : $P=\frac{3xy}{x^{2}+y^{2}}$

 

Bài 2: Cho x,y >0 thỏa mãn x+y=4 .Tìm min $P=x^{2}+y^{2}+\frac{33}{xy}$

 

Bài 3: Co a,b khác 0 thỏa mãn $2a^{2}+\frac{b^{2}}{4}+\frac{1}{a^{2}}=4$. Tìm min $S= ab+2014$

Bài 4: Với x>0 tìm min $M=4x^{2}-3x+\frac{1}{4x}+2013$

 

Bài 5: Cho x;y;z>0 ; x+y+z=1 . CMR $\sqrt{2x^{2}+xy+2y^{2}}+\sqrt{2y^{2}+yz+2z^{2}}+\sqrt{2z^{2}+zx+2x^{2}}\geq \sqrt{5}$

 

Bài 6: CM $\frac{1}{(\sqrt{1}+\sqrt{3})^{3}}+\frac{1}{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^{3}}+...+\frac{1}{(\sqrt{2009}+\sqrt{2011})^{3}}< \frac{1}{8}(1-\frac{1}{\sqrt{2011}})$

 

Bài 7: Cho $x^{2}+y^{2}=1$ Tìm min $M=\sqrt{3}xy +y^{2}$

1.$\frac{x}{y}=t.P=\frac{3t}{t^2+1}$

TH1: $0\le y \le 1$

$t\ge \frac{1}{y(1-y)}\ge 4.P\le \frac{12}{17}$

TH2:y>1,x<0,t<0,P<0

TH3:y<0,x>0,t<0,P<0

$x=2,y=\frac{1}{2}.P=\frac{12}{17}$

$\max P=\frac{12}{17}$

5.$\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge \sqrt{5}\frac{x+y}{2}$

6.$\frac{1}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})}=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1})^2}<\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{8\sqrt{2k+1}\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$

7.$2M-1=2\sqrt{3}xy+2y^2-1=2\sqrt{3}xy+y^2-x^2$

$(2M-1)^2\le 4[4x^2y^2+(y^2-x^2)^2]=4(x^2+y^2)^2=4$

$2M-1\ge -2.M\ge -\frac{1}{2}$

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, y=\frac{1}{2}.M=-\frac{1}{2}$

$\min M=-\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daicahuyvn: 16-08-2013 - 20:39

[Mori Ran]

1.$\frac{x}{y}=t.P=\frac{3t}{y^2+1}$

TH1: $0\le y \e 1$

$t\ge \frac{1}{y(1-y)}\ge 4.P\le \frac{12}{17}$

TH2:y>1,x<0,t<0,P<0

TH3:y<0,x>0,t<0,P<0

$x=2,y=\frac{1}{2}.P=\frac{12}{17}$

$\max P=\frac{12}{17}$

5.$\sqrt{2x^2+xy+y^2}\ge \sqrt{5}\frac{x+y}{2}$

6.$\frac{1}{(\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1})}=\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1})^2}<\frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{8\sqrt{2k+1}\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{8}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$

7.$2M-1=2\sqrt{3}xy+2y^2-1=2\sqrt{3}xy+y^2-x^2$

$(2M-1)^2\le 4[4x^2y^2+(y^2-x^2)^2]=4(x^2+y^2)^2=4$

$2M-1\ge -2.M\ge -\frac{1}{2}$

$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, y=\frac{1}{2}.M=-frac{1}{2}$

$\min M=-\frac{1}{2}$

Làm ơn mình thấy có vẻ bạn gõ LAXTEX sai rùi, phiền bạn sửa lại nhé, mình ko hiểu 1 số chỗ cảm ơn bạn nhiều