Chủ đề này có 1205 trả lời

[midory]

sao lỗi thế này             

[Gia Hung]

ai có ít tài liệu nào về phần bdt không ạ (cấp 2 ) chứ e dốt phần này quá 

[narutovn0209]

Cho $Cho a ,b ,c thỏa mãn a^2 +b^2 +c^2 \leq 8.GTNN A=ab+bc+2ca$

[hoamuongbien]

$(1-a^2)(1-b^2)(1-c^2)\ge\ 0$
$a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\le \ 1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$
mà $a^2+b^2+c^2\le \ a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2$
$1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le \ 1+a^2b+b^2c+c^2a$
Dấu "="xảy ra $(a;b;c)=(1;0;0);(1;1;0)$

tại sao lại bắt đầu từ đó vậy mọi người  .ko tự nhiên lắm

[huyphamvan]

Cho a ,b ,c thỏa mãn $a^2 +b^2 +c^2 \leq 8$.GTNN $A=ab+bc+2ca$

Ta có: $$(a+b+c)^2 \geq 0 \Leftrightarrow ab+bc+ca \geq - \dfrac{(a^2+b^2+c^2)}{2}$$
$$(a+c)^2 \geq 0 \Leftrightarrow ac \geq -\dfrac{a^2+c^2}{2} \geq -\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} $$
Suy ra: $$\mathbb{A}=ab+bc+2ca \geq -(a^2+b^2+c^2) \geq -8$$
Vậy Min A= 8 đạt tại $a=2;b=0;c=-2$ hoặc $a=-2;b=0;c=2;  \square .$ 

[killerdark68]

1/Cmr:$\frac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<3(n \in N*)$

2/giả sử phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)$ co 2 nghiệm x₁ ,x₂ .Cmr x₁x₂$\geq \frac{4ac-b^2}{a^2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 18-07-2014 - 15:35

[thuhanhthuhang]

Cho 2a² +b²=1 Tìm min S= căn(1+2a) + căn (1+2b)
(em xin lỗi vì phải viết ntn nhưng máy nhà em bi lag mất rồi (()

[huyphamvan]

2/giả sử phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0 (a\neq 0)$ co 2 nghiệm x₁ ,x₂ .Cmr x₁x₂$\geq \frac{4ac-b^2}{a^2}$

Vì $x_{1};x_{2}$ là nghiệm của phương trình $ax^3+bx^2+cx+d=0$ nên: 
$$\left \{ \begin{matrix} ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d=0 \\  ax_{2}^3+bx_{2}^2+cx_{2}+d =0 \end{matrix} \right.  \Rightarrow ax_{1}^3+bx_{1}^2+cx_{1}+d=ax_{2}^3+bx_{2}^2+cx_{2}+d \\ \Leftrightarrow a(x_{1}^3-x_{2}^3)+b(x_{1}^2-x_{2}^2)+c(x_{1}-x_{2})=0 \\ \Leftrightarrow (x_{1}-x_{2})[a(x_{1}^2+x_{1}x_{2}+x_{2}^2)+b(x_{1}+x_{2})+c]=0 $$. Mà $x_{1};x_{2}$ là 2 nghiệm khác nhau nên $x_{1} \neq x_{2} \Leftrightarrow x_{1}-x_{2} \neq 0$. Suy ra:
$$a(x_{1}^2+x_{1}x_{2}+x_{2}^2)+b(x_{1}+x_{2})+c=0 \\ \Leftrightarrow a(x_{1}+x_{2})^2+b(x_{1}+x_{2})-ax_{1}x_{2}+c=0 \\ \Rightarrow x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^2+\dfrac{b}{a}(x_{1}+x_{2})+\dfrac{c}{a}= \left ( x_{1}+x_{2}+\dfrac{b}{2a} \right )+\dfrac{4ac-b^2}{4a^2} \geq \dfrac{4ac-b^2}{4a^2};  \square .$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 18-07-2014 - 21:50

[huyphamvan]

1/Cmr:$\frac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{4\sqrt[3]{3}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<3(n \in N*)$

Để ý rằng:
$$\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{n+1-n}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2})}{(n+1)\sqrt[3]{n}} \\ < \dfrac{3(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})\sqrt[3]{(n+1)^2}}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}}$$
Khi đó, ta có:
$$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{2}}....+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}} \right)+ \left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}} \right)+...+\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} \right)=3-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} <3$$
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn $\square .$

[killerdark68]

1/giả sử phương trình $x^5-x^3+x-2=0$ có nghiệm thực x₀. Cmr $\sqrt[6]{3}< x_{0}< \sqrt[6]{4}$

2/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và $0\leq t\leq 1$ Cmr 

         $\sqrt{\frac{a}{b+c-ta}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-tb}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-tc}}\geq 2\sqrt{t+1}$

3/cho a,b,c >0 và $6(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ CMR

          $\sum \frac{1}{10a+b+c}\leq \frac{1}{12}$

4/cho a,b,c>0 , a+b+c=4 và ax+by+cz=xyz. CMR x+y+z>4

5/cho a,b,c>0 CMR $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{b^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

6/cho x₁,x₂ ,...,x_n >0 và  x₁,x₂ ,...,x_n =1.Cmr $\sqrt{1-x_{1}}+\sqrt{1-x_{2}}+...+\sqrt{1-x_{n}}\leq \sqrt{n(n-1)}$

7/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a+b+c=1 CMR a^2+b^2+c^2+4abc$\geq \frac{13}{27}$

8/ cho a,b,c,d >0 và ab+bc+cd+da=1.CMR $\sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{1}{3}$

9/cho a>b $\geq$ 0 cmr a+$\frac{4}{(1+b)^2(a-b)}\geq 3$

10/.cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác CMR $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}<2\sqrt[3]{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 22-07-2014 - 22:23

[killerdark68]

ai có ít tài liệu nào về phần bdt không ạ (cấp 2 ) chứ e dốt phần này quá 

bạn vào trang này nhé http://diendantoanho...-bất-đẳng-thức/

[huyphamvan]

1/giả sử phương trình $x^5-x^3+x-2=0$ có nghiệm thực x₀. Cmr $\sqrt[6]{3}< x_{0}< \sqrt[6]{4}$

2/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh một tam giác và $0\leq t\leq 1$ Cmr 

         $\sqrt{\frac{a}{b+c-ta}}+\sqrt{\frac{b}{a+c-tb}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-tc}}\geq 2\sqrt{t+1}$

3/cho a,b,c >0 và $6(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\leq 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$ CMR

          $\sum \frac{1}{10a+b+c}\leq \frac{1}{12}$

4/cho a,b,c>0 , a+b+c=4 và ax+by+cz=xyz. CMR x+y+z>4

5/cho a,b,c>0 CMR $(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{b^3})\geq \frac{3}{2}(\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+\frac{a+b}{c})$

6/cho x₁,x₂ ,...,x_n và  x₁,x₂ ,...,x_n =1.Cmr $\sqrt{1-x_{1}}+\sqrt{1-x_{2}}+...+\sqrt{1-x_{n}}\leq \sqrt{n(n-1)}$

7/cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác và a+b+c=1 CMR a^2+b^2+c^2+4abc$\geq \frac{13}{27}$

8/ cho $a,b,c,d >0$ và $ab+bc+cd+da=1$.CMR $\sum \frac{a^3}{b+c+d}\geq \frac{1}{3}$

9/cho $a>b \geq 0$ cmr $a+\frac{4}{(1+b)^2+(a-b)}\geq 3$

10/.cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh 1 tam giác CMR $\sum \frac{a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}<2\sqrt[3]{4}$

Bài 8.
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta có:
$$\sum \dfrac{a^3}{b+c+d}=\sum \dfrac{a^4}{a(b+c+d)} \geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{\sum a(b+c+d)} \geq \dfrac{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2}{3(a^2+b^2+c^2+d^2)}= \dfrac{1}{3} (\sum a^2)\geq \dfrac{1}{3}(ab+bc+cd+da)=\dfrac{1}{3}$$
Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=d=\dfrac{1}{2};  \square .$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 19-07-2014 - 17:15

[huyphamvan]

9/cho $a>b \geq 0$ . cmr $a+\frac{4}{(1+b)^2+(a-b)} \geq 3$

Bài 9 không biết đề có bị sai hay không. Với $a=2;b=1$ thì bất đẳng thức sai. 

[huyphamvan]

Sử dụng bất đẳng thức trung bình luỹ thừa, ta có $$\sqrt[3]{\dfrac{a^3+b^3}{2}} \geq \dfrac{a+b}{2}$$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$$\sum \dfrac{\sqrt[3]{2}a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}} < 4$$
Ta có: $$\sum \dfrac{\sqrt[3]{2}a}{\sqrt[3]{b^3+c^3}}=\sum \dfrac{a}{\sqrt[3]{\dfrac{b^3+c^3}{2}}} \leq \sum \dfrac{2a}{b+c}$$
Ta cần chứng minh:
$$\sum \dfrac{a}{b+c}<2$$
Do $a,b,c>0$ nên $$\dfrac{a}{b+c} < \dfrac{a+a}{a+b+c}$$
Tương tự, ta có $$\dfrac{b}{c+a} < \dfrac{2b}{a+b+c} \\ \dfrac{c}{a+b} < \dfrac{2c}{a+b+c}$$
Cộng 3 bất đẳng thức trên theo vế và thu gọn ta có điều phải chứng minh. $\square .$

[killerdark68]

Bài 9 không biết đề có bị sai hay không. Với $a=2;b=1$ thì bất đẳng thức sai. 

 

Đề sai sửa thành $a+\frac{4}{(1+b)^2(a-b)}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi killerdark68: 22-07-2014 - 08:54

[huyphamvan]

6/cho $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ và  $x_{1};x_{2};...;x_{n}$.Cmr $\sqrt{1-x_{1}}+\sqrt{1-x_{2}}+...+\sqrt{1-x_{n}}\leq \sqrt{n(n-1)}$

Bài 6 này là số thực phải ko nhỉ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 20-07-2014 - 12:03

[killerdark68]

Bài 6 này là số thực phải ko nhỉ

mình viết thiếu mình đã sửa rồi đấy 

[huyphamvan]

Bài 6
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$, ta được:
$$(\sum \sqrt{1-x_{1}})^2 \leq n[\sum (1-x_{1})] = n(n-\sum_{i=1}^{n})=n(n-1) \\ \Rightarrow \sum \sqrt{1-x_{1}} \leq \sqrt{n(n-1)}$$
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}=....=x_{n}=\dfrac{1}{n}; \square .$
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyphamvan: 20-07-2014 - 12:23

[ductai202]

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=$\frac{3}{2}$. tìm GTNN của $x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ductai202: 24-07-2014 - 13:01

[killerdark68]

Để ý rằng:
$$\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{n+1-n}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})(\sqrt[3]{(n+1)^2}+\sqrt[3]{n(n+1)}+\sqrt[3]{n^2})}{(n+1)\sqrt[3]{n}} \\ < \dfrac{3(\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n})\sqrt[3]{(n+1)^2}}{(n+1)\sqrt[3]{n}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}}$$
Khi đó, ta có:
$$\dfrac{1}{2\sqrt[3]{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{2}}....+\dfrac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n}}<\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{1}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}} \right)+ \left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{3}} \right)+...+\left( \dfrac{3}{\sqrt[3]{n}}-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} \right)=3-\dfrac{3}{\sqrt[3]{n+1}} <3$$
Vậy bài toán được chứng minh hoàn toàn $\square .$

bạn có thể giúp mình dạng tổng quát này ko ? 

Cmr: $\frac{1}{2\sqrt[k]{1}}+\frac{1}{3\sqrt[k]{2}}+...+\frac{1}{(n+1)\sqrt[k]{n})}< k$ (n,k $\in$ N*)