Chủ đề này có 1205 trả lời

[tpdtthltvp]

Chỗ màu đỏ đã sai, phải là căn bậc $4$ mới đúng

Hì! Nhầm! Em sử rồi đó!

[Element hero Neos]

vậy kí hiệu đó nghĩa là gì?

là tổng hoán vị (đọc là xích-ma): người ta viết phân thức đầu tiên rồi các phân thức sau thì thay a bởi b, b bởi c, c bởi a (hoặc x,y,z hoặc các biến khác)

[Tran Thanh Truong]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng:  $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

[NTA1907]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng:  $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

[kuhaza]

cho cos² a + cos² b + cos² c > 2. cmr ( tan a . tan b. tan c )² < 1/8

[Tran Thanh Truong]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

a)  $3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

b)  $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

[Element hero Neos]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

a)  $3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

b)  $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Phần b có ở đây

[Tran Thanh Truong]

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

a)  $(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

b)  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

[luukhaiuy]

giải hộ em với

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+xyz=z

tìm max của P=$\frac{2x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}+\frac{x^2(1+\sqrt{yz})^2}{(y+z)(x^2+1)}$

[PlanBbyFESN]

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:

a)  $3(ab^{3}+bc^{3}+ca^{3})\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

b)  $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)^{2}\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

b) $3(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)\leq (\sum a^{2})3(\sum a^{2}b^{2})\leq (\sum a^{2})(\sum a^{2})^{2}\doteq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{3}$

Áp dụng C-S ở đầu và $3\sum ab\leq \left ( a+b+c \right )^{2}$ ở sau.

(đpcm)

a) Chặt hơn: C/m: $3\sum a^{3}b\leq (\sum a^{2})^{2}$

Bất đẳng thức này rất hay và khó:

Cách 1: Đặt b= a+x ; c=a+y rồi sử dụng đạo hàm ( cách này khó hiểu nên mình không nêu, mình cũng không hiểu  )

Cách 2: Phân tích:

Ta có: $(\sum a^{2})^{2}-3(\sum a^{3}b)= \frac{1}{2}\sum (a^{2}-b^{2}+2bc-ab-ca)^{2}\geq 0$

Suy ra đpcm~~

[meomunsociu]

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

a)  $(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

b)  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

Hình như đề câu b phải là $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$ chứ bạn

[Tran Thanh Truong]

Hình như đề câu b phải là $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$ chứ bạn

 

Đề này mình lấy trên Toán học tuổi trẻ đó bạn. Làm sao nhầm được. Đề này là bài tập tự luyện không có đáp án

[Tuituki]

Cho $abc=1$ và a,b,c dương. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

[meomunsociu]

Cho $abc=1$ và a,b,c dương. Chứng minh:

A=$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}\Rightarrow a+b+c=\frac{x^2z+y^2x+z^2y}{xyz}$

Ta có: $\frac{a}{(ab+a+1)^2}=\frac{\frac{x}{y}}{(\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+1)^2}=\frac{xyz^2}{(xy+yz+xz)^2}$

Tương tự suy ra cần c/m: $A=\frac{xyz(x+y+z)}{(xy+yz+xz)^2}\geq \frac{1}{a+b+c}=\frac{xyz}{x^2z+y^2x+z^2y}$

$\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2z+y^2x+z^2y)\geq (xy+yz+zx)^2$

(Đúng theo BĐT Bunhia)

=> ĐPCM

[PlanBbyFESN]

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

b)  $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

 

Hình như đề câu b phải là $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{c+a}{c+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{b+c}{b+a}$ chứ bạn

 

Đề này mình lấy trên Toán học tuổi trẻ đó bạn. Làm sao nhầm được. Đề này là bài tập tự luyện không có đáp án

b) Hướng 1 :

Giải: 

Ta có:

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1\Leftrightarrow \frac{\sum ab^{2}}{abc}\geq \frac{a^{2}+3ab+3b^{2}+3bc+c^{2}+ac}{\sum ab+b^{2}}$

Nhân lên với nhau rồi rút gọn ta đưa về dạng đơn giản:

$a^{3}c^{2}+a^{2}b^{3}+ab^{4}+c^{2}b^{3}+c^{3}b^{2}\geq 2ab^{3}c+2ab^{2}c^{2}+a^{2}b^{2}c$

Chia 2 vế cho abc>0 cho dễ nhìn:

$\Leftrightarrow (\frac{a^{2}c}{b}+\frac{b^{3}}{c})+(\frac{ab^{2}}{c}+\frac{cb^{2}}{a})+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab$

Cô si các vế trong ngoặc ta đưa bđt về c/m:

$2b^{2}+2ab+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2b^{2}+2bc+ab\Leftrightarrow ab+\frac{c^{2}b}{a}\geq 2bc$

Điều này hiển nhiên đúng (cô si 2 số ) nên ta có ĐPCM. 

Bài toán chứng minh xong.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

*Câu này hướng 2 nghĩ tới dùng bổ đề: $2\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}+3$ rồi áp dụng vào bài. (Tự thử xem được không nhá, mình nghĩ có thể)

[PlanBbyFESN]

Cho các số thực dương a,b,c. CMR:

a)  $(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)$

Cách dễ nhất có thể nghĩ khi nhìn đề:

$(ab+c^{2})(bc+a^{2})(ca+b^{2})\geq abc(a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow abc(\sum a^{3})+\sum a^{3}b^{3}\geq abc\left ( \sum ab(a+b) \right )$

Chia 2 vế cho abc >0 ta có:

BĐT$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c}\geq \sum ab(a+b)$

Ta có: Áp dụng bđt Cô si: $\sum \frac{a^{2}b^{2}}{c}\geq 3\sqrt[3]{a^{3}b^{3}c^{3}}=3abc$ nên

BĐT trở thành: $a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$

Schur bậc 3 nên hiển nhiên đúng $\Rightarrow$ ĐPCM

Bài toán cm xong.

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ 

[Tran Thanh Truong]

 

a) Chặt hơn: C/m: $3\sum a^{3}b\leq (\sum a^{2})^{2}$

Bất đẳng thức này rất hay và khó:

Cách 2: Phân tích:

Ta có: $(\sum a^{2})^{2}-3(\sum a^{3}b)= \frac{1}{2}\sum (a^{2}-b^{2}+2bc-ab-ca)^{2}\geq 0$

Suy ra đpcm~~

Cho mình hỏi ở cách 2 làm sao bạn có thể nghĩ đến tổng 3 bình phương như thế này

Còn đề gốc của nó làm thế nào bạn?

[Element hero Neos]

Cho mình hỏi ở cách 2 làm sao bạn có thể nghĩ đến tổng 3 bình phương như thế này

Còn đề gốc của nó làm thế nào bạn?

Chẳng phải ở đề bài câu này là tổng 3 bình phương sao?

[NguyenPhuongQuynh]

Cho a>8.Tìm min$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}$

[PlanBbyFESN]

Cho mình hỏi ở cách 2 làm sao bạn có thể nghĩ đến tổng 3 bình phương như thế này

Còn đề gốc của nó làm thế nào bạn?

@ đề gốc là hệ quả yếu hơn của đề trên, nghĩ thành tổng các bình phương cho $\geq 0$ và cả cách đạo hàm là tham khảo thôi, bài này khó lắm.

 

Cho $abc=1$ và a,b,c dương. Chứng minh:

$\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}}\geq \frac{1}{a+b+c}$

Schwarz thẳng 1 bước là ra:

$(\sum a)(\sum \frac{a}{(ab+a+1)^{2}})\geq (\sum \frac{1}{ab+a+1})\doteq 1$ (do abc=1 nên chú ý rằng $\sum \frac{1}{ab+a+1}\doteq 1$)

suy ra đpcm.

 

Cho a>8.Tìm min$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}$

Đặt a-8=x và đk: x>0.

Thay vào được:

$\sqrt{a^{2}+(\frac{a}{a-8})^{2}}\doteq \sqrt{x^{2}+\frac{64}{x^{2}}+16x+\frac{16}{x}+65}$

Có thể tách Cô si vì có x>0 và bình phương dựa vào dấu = nhường cho bạn

 

giải hộ em với

cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+xyz=z

tìm max của P=$\frac{2x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}+\frac{x^2(1+\sqrt{yz})^2}{(y+z)(x^2+1)}$

Vế đầu:

$\frac{2x}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{\frac{(x^{2}+1)^{3}}{x^{3}}}}\doteq \frac{2}{\sqrt{x^{3}+\frac{1}{x^{3}}+3x+\frac{3}{x}}}\leq \frac{\sqrt{2}}{2}$   (Cô si dưới mẫu)

Vế sau:

$\frac{x^{2}(1+\sqrt{yz})^{2}}{(y+z)(x^{2}+1)}\doteq \frac{x^{2}+x^{2}yz+2x^{2}\sqrt{yz}}{(y+z)x^{2}+y+z}$

Đến đây có thể thay $x=\frac{z-y}{yz+1}$ để tính hoặc bạn đánh giá $y+z\geq 2\sqrt{yz}$ thay vô.....

p/s: kiếm đâu ra bài rườm rà zzz

 

b) *Câu này hướng 2 nghĩ tới dùng bổ đề: $2\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}+3$ rồi áp dụng vào bài. (Tự thử xem được không nhá, mình nghĩ có thể)

Thử c/m cái này xem nào Tran Thanh Truong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PlanBbyFESN: 03-01-2016 - 16:21