1205 replies to this topic

[perfectstrong]

Bài 30:Cho các số a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn:$\sum a^2=1$
Tìm min của biểu thức:
$S=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+b}+\dfrac{d^2}{a+b}$

Thắng xem lại đề nhé. a,b,c,d sao cùng lúc nguyên dương được.

[Nguyễn Hữu Huy]

Giả sử $a\geq b\geq c\geq d$
Áp dụng Bđt chebyshev , ta có :
$\sum \dfrac{a^2}{b+c}\geq \dfrac{1}{4}(\sum a^2) (\sum \dfrac{1}{b+c })\geq \dfrac{2}{\sum a}\geq \dfrac{2}{\sqrt{4\sum a^2}}=1$
Đẳng thức $\Leftrightarrow a=b=c=d =\dfrac{1}{2}$

Mình thấy hình như nó sai thì phải ! Nếu như chebyshev thì 2 dãy số phải đơn điệu cùng hoặc ngược chiều
Nhưng nếu giải sử $a \geq b \geq c \geq d \Rightarrow a +b \geq b + d \geq c + d \geq b + c$ (Cái ni vô lí)
Thì làm sao mà có đc 2 dãy đơn điệu cùng chiều đc

Ngu kiến nên nếu sai sót xin huynh muội lượng thứ

Edited by Nguyễn Hữu Huy, 08-09-2011 - 20:06.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Mình thấy hình như nó sai thì phải ! Nếu như chebyshev thì 2 dãy số phải đơn điệu cùng hoặc ngược chiều
Nhưng nếu giải sử $a \geq b \geq c \geq d \Rightarrow a +b \geq b + d \geq c + d \geq b + c$ (Cái ni vô lí)
Thì làm sao mà có đc 2 dãy đơn điệu cùng chiều đc

Ngu kiến nên nếu sai sót xin huynh muội lượng thứ

uhm , mình hơi vội nên nhầm sr nha

[Nguyễn Hữu Huy]

Bài 30:Cho các số a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn:$\sum a^2=1$
Tìm min của biểu thức:
$S=\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+b}+\dfrac{d^2}{a+b}$

em làm bậy bạ ! Nếu lỡ có sai thì các huynh đệ tỉ muội thông cảm giùm !

Ta luôn có

$a + b \leq \sqrt{2(a^2 + b^2}$

$ \Rightarrow S = \dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+d}+\dfrac{c^2}{d+b}+\dfrac{d^2}{a+b} \geq \dfrac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$ + $\dfrac{b^2}{\sqrt{2(c^2 + d^2)}}$ + $\dfrac{c^2}{\sqrt{2(d^2 + b^2)}}$ + $\dfrac{d^2}{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}$

Đặt
P = $ \dfrac{a^2}{\sqrt{2(b^2+c^2)}}$ + $\dfrac{b^2}{\sqrt{2(c^2 + d^2)}}$ + $\dfrac{c^2}{\sqrt{2(d^2 + b^2)}}$ + $\dfrac{d^2}{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}$

Áp dụng BĐT holder ta có :

$P^2. \sum 2a^2(b^2 + c^2) \geq (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^3 = 1$ (*)

Cần chứng minh $\sum 2a^2(b^2 + c^2) \leq 1$
Cái này đúng vì $\sum 2a^2(b^2 + c^2) \leq (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 = 1$ (*)

Từ ; (*) và (*) ta có đpcm

Edited by Nguyễn Hữu Huy, 09-09-2011 - 11:12.

[NguyThang khtn]

$P \ge \dfrac{(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 )^2 }{a^2 (b + c) + b^2 (c + d) + c^2 (d + a) + d^2 (a + b)} $

$= \dfrac{1}{a^2 (b + c) + b^2 (c + d) + c^2 (d + a) + d^2 (a + b)}$.
Chú ý là $b + c \le b^2 + c^2 + \dfrac{1}{2}$
.Suy ra
$ a^2 (b + c) + b^2 (c + d) + c^2 (d + a) + d^2 (a + b) $
$ \le a^2 \left( {b^2 + c^2 + \dfrac{1}{2}} \right) + b^2 \left( {c^2 + d^2 + \dfrac{1}{2}} \right) + c^2 \left( {d^2 + a^2 + \dfrac{1}{2}} \right) + d^2 \left( {a^2 + b^2 + \dfrac{1}{2}} \right) $
$ = a^2 (b^2 + c^2 ) + b^2 (c^2 + d^2 ) + c^2 (d^2 + a^2 ) + d^2 (a^2 + b^2 ) + \dfrac{1}{2} $
$ = (a^2 + b^2 )(c^2 + d^2 ) + (a^2 + d^2 )(b^2 + c^2 ) + \dfrac{1}{2}
\le \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2} = 1. $.
Do do minP=1.

Edited by bboy114crew, 28-09-2011 - 11:30.

[Nguyễn Hữu Huy]

Cho $a + b = 10$

Tìm min $(a^4 + \dfrac{1}{b^4})(b^4 + \dfrac{1}{a^4})$

Edited by bboy114crew, 28-09-2011 - 11:29.

[Nguyen Dzung]

$(a^4+\dfrac{1}{b^4})(b^4+\dfrac{1}{a^4}) = a^4b^4+ \dfrac{1}{a^4b^4}+ \dfrac{a^4}{b^4}+ \dfrac{b^4}{a^4}$
$\ge 2 + a^4b^4+\dfrac{1}{a^4b^4} = 2+(a^4 b^4 + \dfrac{1}{5^{16} a^4b^4} + \dfrac{5^{16}-1}{5^{16} a^4 b^4}$
$\ge 2 + \dfrac{2}{5^8} + \dfrac{4^4(5^{16}-1)}{5^{16} (a+b)^8} \ge 2 + \dfrac{2}{5^8} +\dfrac{4^4(5^16-1)}{5^24}) = ... $

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=5$

Edited by Nguyen Dzung, 01-10-2011 - 00:07.

[phantom1996]

Cho các số a,b,c>0 thỏa mãn: $abc=1$.Tìm Min của:
$A=a^3 + b^3 + c^3 - 6(ab+ac+ab)$


Mod: bạn vui lòng xem cách gõ công thức mới của diễn đàn ở đây
http://diendantoanhoc.net/index.php?showtopic=63178

Edited by phantom1996, 04-10-2011 - 20:15.
Chỉnh $\LaTeX$

[ncd97]

am+n+bm+n≥am.bn+an.bm.câu này làm sao vậy ảnh?câu này làm sao vậy anh??

Edited by ncd97, 11-11-2011 - 12:05.

[ncd97]

Mình mở ra một topic mới để cùng mọi người trao đôit kinh nghiệm về BĐT. Lần này các bài toán dành cho THCS, 1 phần cũng dành cho các anh chị THPT. Đầu tiên xin nói lại về các BĐT để sử dụng truong topic này .
1. Bất đẳng thức Cô si (AM-GM): Với m số không âm $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ ta có:
$a_{1}+a_{2}+...+a_{m}\geq m\sqrt[m]{a_{1}a_{2}...a_{m}}$. Đẳng thức xảy ra khi $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}.$
2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki (Cauchy - Schwazs): với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{m}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{m}^{2})\geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^{2}$
Đẳng thức xảy ra khi : $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
3. Bất đẳng thức Xvác (Schwars). Với $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ bất kì và $b_{1},b_{2},...,b_{m}\geq 0$ ta có :
$\dfrac{a_{1}^{2}}{b_{1}}+\dfrac{a_{2}^{2}}{b_{2}}+...+\dfrac{a_{m}^{2}}{b_{m}}\geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}.$Đẳng thức xảy ra khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
4.Bất đẳng thức Mincopxki (Mincowski): Với 2 bộ n số $a_{1},a_{2},...,a_{m}$ và $b_{1},b_{2},...,b_{m}$ thì :
$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}+...+\sqrt{a_{m}^{2}+b_{m}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^{2}+(b_{1}+b_{2}+...+b_{m})^{2}}$
Đẳng thức xảy ra khi :$\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
5. Bất đẳng thức Holder: Xin chỉ nêu trường hợp dùng nhiều nhất , ko nêu dạng tổng quát:
Cho $a,b,c,x,y,z,m,n,p>0$ thì BĐT sau đúng : $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}.$
Đẳng thức xảy ra khi : các bộ số tương ứng tỉ lệ với nhau.
6. Bất đẳng thức Schur: Dạng tổng quát:
Cho $a,b,c\geq 0$ và $t > 0$ ta có : $a^{t}(a-b)(a-c)+b^{t}(b-c)(b-a)+c^{t}(c-a)(c-b)\geq 0.$
Đẳng thức xảy ra khi : $a=b=c$ hoặc $a=0,b=c$ hoặc các hoán vị.
Các trường hợp thường dùng là TH: $t=1$ và $t=2$
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)\geq 0$ .
Trong trường hợp $t=1$ thì ở THCS ta thường có các cách diễn đạt tương đương sau :
$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ac(c+a).$
$4(a+b+c)(ab+bc+ac)\leq (a+b+c)^{3}+9abc.$
Hệ quả rất thông dụng: $(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc.$
Với $t=2$ ta có dạng quen thuộc hơn: $a^{4}+b^{4}+c^{4}+abc(a+b+c)\geq a^{3}(b+c)+b^{3}(a+c)+c^{3}(a+b)$.
7. Bất đẳng thức Trêbưsep Chebyshev): Với $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $b_{1}\geq b_{2}\geq ...\geq b_{m}$ thì:
$m(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{n}+...+a_{m}b_{m})\geq (a_{1}+a_{2}+...+a_{m})(b_{1}+b_{2}+...+b_{m}).$
Đẳng thức xảy ra khi : $a_{1}=a_{2}=...=a_{m}$ và $ b_{1}=b_{2}=...=b_{m}.$
Nếu $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{m}$ và $ b_{1}\leq b_{2}\leq ...\leq b_{m}$ thì BĐT trên đổi chiều.
8. Bất đẳng thức Nét bít (Nesbitt): Mình chỉ nêu ra 2TH hay dùng nhất đối với THCS :
BĐT Nesbitt 3 biến : Với $ a,b,c >0$ thì $\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b} \geq \dfrac{3}{2}.$
BĐT Nesbitt 4 biến : với $a,b,c,d >0$ thì :$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a} +\dfrac{d}{a+b}\geq 2.$
ĐẲng thức xẩy ra khi các biến bằng nhau.
9. Các hằng bất đẳng thức thường dùng:
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$ và $(a+b+c)^{2}\geq 3(ab+bc+ac).$
$\dfrac{1}{a_{1}}+\dfrac{1}{a_{2}}+...+\dfrac{1}{a_{m}}\geq \dfrac{m^{2}}{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}$ ( với $a_{i}>0$)
$\dfrac{a^{n}+b^{n}}{2}\geq (\dfrac{a+b}{2})^{n}$ (Với $a+b\geq 0$ và $n\in N*$)
$a^{m+n}+b^{m+n}\geq a^{m}.b^{n}+a^{n}.b^{m}.$
Còn rất nhiều BĐT nữa nhưng ở mức độ THCS mình chỉ nêu ra như vậy thôi.
P\s: Các anh chị THPT không giải bài của THCS, mà các anh chị sẽ có bài riêng dành cho mình để làm. Mong các bạn hưởng ứng. Cảm ơn.
Hero Math _ Hiếu.

câu cuối làm ntn vậy???

[sokkonthongminh]

mọi người giải zùm mình bài này với

Cho x³ + y³ + 3( x² + y² ) + 4( x + y ) + 4 =0 và xy >0. Tìm GTLN cuả biểu thức

M = $\frac{1}{x}$ + $\frac{1}{y}$

[Cao Xuân Huy]

Bài này mình gợi ý thôi nhé vì gần đi học rồi. Từ điều kiện đề bài:
${x^3} + {y^3} + 3({x^2} + {y^2}) + 4(x + y) + 4 = 0 \Leftrightarrow (X + Y)({X^2} - XY + {Y^2} + 1) = 0$
Với $X=x+1; Y=y+1$. Từ đó suy ra $x+y=-2$.
Rồi bạn chứng minh được: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \le - 2$

Edited by Cao Xuân Huy, 26-11-2011 - 20:21.

[alex_hoang]

Các mod THCS sao lại không gõ thứ tự bài vậy.Anh góp vui một bài

Cho các số thực $a, b, c$ khác nhau đôi một thỏa mãn $b^2-bc+ca=\dfrac{1}{2}ab$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $$P=\left(\dfrac{a}{a-b}\right)^2+4.\left(\dfrac{b}{b-c}\right)^2+9. \left(\dfrac{c}{c-a}\right)^2$$

[txc1080]

em học lớp 9 rùi nek!! nhưng sao thấy CT trên lạ quá ak!! có thật là THCS hok z mấy pak!!

[reddevil123]

Cho mình hỏi 1 bài:
Cho $a,b,c$ là các số thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2$ $8$
Tìm Min của: $S=ab+bc+2ca$

Edited by Cao Xuân Huy, 11-12-2011 - 14:34.

[MyLoVeForYouNMT]

Bạn cho mình hỏi cái này

Tìm Min của: $S=ab$ $=$$bc+2ca$

Là dấu gì vậy. Cộng hay trừ.

Edited by Cao Xuân Huy, 10-12-2011 - 13:24.

[sokkonthongminh]

Nhân tiện mọi người giải zùm bài này lun nha

1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:


$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c} \ge 26$

2. cho $\dfrac{a}{a'} + \dfrac{b}{b'} + \dfrac{c}{c'} = 4$

Tính $y= \dfrac{a+b+c}{a'-b'+c'}$

Edited by Cao Xuân Huy, 10-12-2011 - 16:01.

[PRONOOBCHICKENHANDSOME]

Nhân tiện mọi người giải zùm bài này lun nha

1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:


$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c} \ge 26$

2. cho $\dfrac{a}{a'} + \dfrac{b}{b'} + \dfrac{c}{c'} = 4$

Tính $y= \dfrac{a+b+c}{a'-b'+c'}$

1/$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c}$
$\Rightarrow P+14,5= (\dfrac{4a}{b+c-a}+2) + (\dfrac{9b}{c+a-b}+4,5) +( \dfrac{16c}{a+b-c}+8)$
Bạn quy đồng mẫu số , rút $a+b+c$ ra ngoài , dùng Cauchy-Schwarz cho biểu thức trong ngoặc , rút gọn rồi trừ 14,5 đi sẽ được đpcm.

[Crystal]

1. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$P= \dfrac{4a}{b+c-a} + \dfrac{9b}{c+a-b} + \dfrac{16c}{a+b-c} \ge 26$

Ta có: $$2P = 4\dfrac{{2a}}{{b + c - a}} + 9\dfrac{{2b}}{{c + a - b}} + 16\dfrac{{2c}}{{a + b - c}}$$
$$ = 4\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{b + c - a}} - 1} \right) + 9\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{a + c - b}} - 1} \right) + 16\left( {\dfrac{{a + b + c}}{{a + b - c}} - 1} \right)$$
$$ = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right) - 29$$
$$= \left[ {\left( {b + c - a} \right) + \left( {a + c - b} \right) + \left( {a + b - c} \right)} \right]\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right) - 29$$
Áp dụng Cauchy -Schwarz, ta có:
$$81 = {\left( {2 + 3 + 4} \right)^2} = \left( {\dfrac{2}{{\sqrt {b + c - a} }}.\sqrt {b + c - a} + \dfrac{3}{{\sqrt {a + c - b} }}.\sqrt {a + c - b} + \dfrac{4}{{\sqrt {a + b - c} }}.\sqrt {a + b - c} } \right)$$
$$ \le \left[ {\left( {b + c - a} \right) + \left( {a + c - b} \right) + \left( {a + b - c} \right)} \right]\left( {\dfrac{4}{{b + c - a}} + \dfrac{9}{{a + c - b}} + \dfrac{{16}}{{a + b - c}}} \right)$$
$$ \Rightarrow 2P \ge 81 - 29 = 52 \Leftrightarrow P \ge 26$$

[reddevil123]

Bạn cho mình hỏi cái này

Là dấu gì vậy. Cộng hay trừ.

dấu +