Chủ đề này có 6 trả lời

[supermember]

Bài toán : Cho $ a ; b ; c$ là những số thực dương , chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \right) . \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{b}{b+c}} \right) .\left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \right) \ \leq \ \dfrac{10 + 7 \sqrt{2}}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 08-07-2009 - 10:41

[namdung]

Bài này ác chiến đấy. Hằng số là tốt nhất chưa bạn?

[phong than]

Đặt $x=\dfrac{b}{a}, y=\dfrac{a}{c}, z=\dfrac{c}{b}$. Ta có:$xyz=1$, và cần chứng minh:
$(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}})(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}})(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}})\leq \dfrac{10+7\sqrt{2}}{4}$.
Giả sử $x\leq y\leq z$. Ta có $xy\leq 1$, khi đó ta có:
$\(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+x}})(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+y}})(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}})\leq (1+\dfrac{1}{\sqrt{1+t}})^2(1+\dfrac{1}{\sqrt{1+z}})$, trong đó $t=\sqrt{xy}$, Sau đó logarit Ln hai vế, sử dụng hàm số ta có đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phong than: 08-07-2009 - 16:33

[mai quoc thang]

Bài toán : Cho $ a ; b ; c$ là những số thực dương , chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \right) . \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{b}{b+c}} \right) .\left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \right) \ \leq \ \dfrac{10 + 7 \sqrt{2}}{4} $

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương :

$ \sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}}+\sum \sqrt{\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}} \leq \dfrac{3\sqrt{2}+3}{2} $

Ta có :

$ \sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}}\leq 2\sqrt{1+\dfrac{abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}} \leq \dfrac{3}{\sqrt{2}} $

Và :

$\sum_{cyc} \sqrt {\dfrac {ab}{(a + b)(b + c)}} = \sum_{cyc}\dfrac {a + c}{2(a + b + c)}\sqrt {\dfrac {4(a + b + c)^2ab}{(a + c)^2(a + b)(b + c)}}$

$ \leq \sqrt {\dfrac {2(ab + ac + bc)(a + b + c)}{(a + b)(a + c)(b + c)}}\leq\dfrac {3}{2} $

Ta có đpcm

[mai quoc thang]

Bài toán : Cho $ a ; b ; c$ là những số thực dương , chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức :

$ \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \right) . \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{b}{b+c}} \right) .\left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \right) \ \leq \ \dfrac{10 + 7 \sqrt{2}}{4} $

Áp dụng AM-GM ta có :

$ \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{a}{a+b}} \right) . \left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{b}{b+c}} \right) .\left( 1 \ + \ \sqrt{\dfrac{c}{c+a}} \right) $

$ \le \dfrac{(3+\sum \sqrt{\dfrac{a}{a+b}})^3}{27} \leq \dfrac{10 + 7 \sqrt{2}}{4}$

Ta có đpcm

[phong than]

Mình nhìn BĐT của anh chắc mạnh lắm nên không dám dùng cái này (hơi yếu). Ai ngờ lại được.

[mai quoc thang]

Mình nhìn BĐT của anh chắc mạnh lắm nên không dám dùng cái này (hơi yếu). Ai ngờ lại được.

Hên xui thôi Mình chat với cái thằng post đề , nó cứ bảo cách dài quá và nó có cách làm ngắn lắm , thế là tự nhiên có cái gì nhập vào , rồi xyz . abc gì đấy nó ra như thế .............