Chủ đề này có 2 trả lời

[nguyen_ct]

cho các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
CMR:
$\sum \sqrt{\dfrac{a}{a^2+bc} } \geq2\sqrt{2}$

[vuong-khtn]

cho các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1$
CMR:
$\sum \sqrt{\dfrac{a}{a^2+bc} } \geq2\sqrt{2}$

Giả sử $ a \geq b \geq c$
Th1.c=0,bdt trên được cm rất dễ dàng bởi AM-GM
Th2.c#0
Đặt $x=1/a ,y=1/b ,z=1/c$
Ta đưa việc cm bdt về cm bdt sau,chính là bdt của anh Phạm Kim Hùng
$\dfrac{1}{ \sqrt{x^2+yz}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+zx}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+xy}} \geq \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{xy+yz+zx}$
Sau đây là ý chính trong 1 lời giải của anh Cẩn cho bdt này:
Áp dụng bdt Holder ta có
$VT^2(z^3(x^2+yz)+z^3(y^2+zx)+(x+y)^3(z^2+yz)) \geq (2z+x+y)^3$
Việc còn lại là cm
$(x+y+2z)^3(xy+yz+zx) \geq 8(z^3(x^2+yz)+z^3(y^2+zx)+(x+y)^3(z^2+yz))$
bdt này không khó và được cm bằng khai triển với chú ý $z \geq y \geq x>0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuong-khtn: 19-08-2009 - 16:28

[vuthanhtu_hd]

Giả sử $ a \geq b \geq c$
Th1.c=0,bdt trên được cm rất dễ dàng bởi AM-GM
Th2.c#0
Đặt $x=1/a ,y=1/b ,z=1/c$
Ta đưa việc cm bdt về cm bdt sau,chính là bdt của anh Phạm Kim Hùng
$\dfrac{1}{ \sqrt{x^2+yz}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{y^2+zx}}+ \dfrac{1}{ \sqrt{z^2+xy}} \geq \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{xy+yz+zx}$
Sau đây là ý chính trong 1 lời giải của anh Cẩn cho bdt này:
Áp dụng bdt Holder ta có
$VT^2(z^3(x^2+yz)+z^3(y^2+zx)+(x+y)^3(z^2+yz)) \geq (2z+x+y)^3$
Việc còn lại là cm
$(x+y+2z)^3(xy+yz+zx) \geq 8(z^3(x^2+yz)+z^3(y^2+zx)+(x+y)^3(z^2+yz))$
bdt này không khó và được cm bằng khai triển với chú ý $z \geq y \geq x>0$

Vấn đề này đã được giải quyết ở trang 223 trong cuốn Secrets in inequalities