Chủ đề này có 6 trả lời

[trịnh tình]

Cho các số $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{2009}\in [ -1;1 ]$
Thỏa mãn điều kiện $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...,+a_{2009}=2006$
Tìm GTLN của
$a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2+...,+a_{2009}^{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trịnh tình: 16-08-2009 - 19:27

[Blueflower]

Cho các số $a_{1},a_{2},a_{3}...,a_{2009}\in [ -1;1 ]$
Thỏa mãn điều kiện $a_{1}+a_{2}+a_{3}+...,+a_{2009}=2006$
Tìm GTLN của
$a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2+...,+a_{2009}^{2}$

Giải thử .

Ta có : $ -1 \leq a_i \leq 1 $ với mọi $ i=1,2,3,...,2009 $

Suy ra : $ (a_i+1)(a_i-1) \leq 0 \Leftrightarrow a_{i}^{2} \leq a_i $ với mọi $ i=1,2,3,...,2009 $ .

Ta có : $ \sum_{i=1}^{2009}a_{i}^{2} \leq \sum _{i=1}^{2009}a_i=2006 $

Vậy GTLN là $ 2006 $ .

Đạt được chẳng hạn tại : $ a_1=a_2=...=a_{2006}=1 \ ; \ a_{2007}=a_{2008}=a_{2009}=0 $

[trịnh tình]

Bài làm của bạn chưa đúng
Chẳng hạn có 2007 số bằng 1,một số bằng -1 ,một số bằng 0 thi $A=2008 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trịnh tình: 17-08-2009 - 13:18

[vuthanhtu_hd]

Giải thử .

Ta có : $ -1 \leq a_i \leq 1 $ với mọi $ i=1,2,3,...,2009 $

Suy ra : $ (a_i+1)(a_i-1) \leq 0 \Leftrightarrow a_{i}^{2} \leq a_i $ với mọi $ i=1,2,3,...,2009 $ .

Chỗ này của em sai rồi $(a_i+1)(a_i-1) \leq 0 $ chỉ suy ra $a_i^2 \le 1$

Chẳng hạn với $a_i=-0.5$ thì $(a_i+1)(a_i-1) \leq 0 $ nhưng $ a_{i}^{2}=0.25> a_i $

[trịnh tình]

Giá trị lớn nhất của biểu thức chính là 2008.Ngoài ra các bạn có thể đưa ra bài toán tổng quát cho n số .

[Blueflower]

Sr mọi người :">

[trịnh tình]

Sr mọi người :">

Ta sẽ giải bài toán tổng quát sau:
Nếu$ a_1 ,a_2 ,...,a_n \in \left[ { - 1;1} \right]$
và $a_1 + a_2 + ... + a_n = n - 3 $ thì $a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2 \le n - 1$
Thật vậy
Đặt $ x_i = 1 - a_i {\rm{ i = 1,2,}}...{\rm{,n}} \Rightarrow x_i \in \left[ {0;2} \right] $ (1)
Và từ gt suy ra $ x_1 + x_2 + ... + x_n = 3 $ (2)
Và b đt tương đương với $x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le 5$
Từ (1) và (2) dễ thấy chỉ có tối đa hai số $x_i > 1$
xét các trường hợp
1) $0 \le x_i \le 1,\forall i = 1,2,...,n $
khi đó $ x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le x_1 + x_2 + ... + x_n = 3 < 5$
2)Có duy nhất một số $ x_i > 1$
không mất tính tổng quát giả sử $ x_1 > 1$
Khi đó $ x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le x_1^2 + x_2 + ... + x_n = x_1 \left( {x_1 - 1} \right) + x_1 + x_2 + ... + x_n \le 2 + 3 = 5$
3) Có hai số $ x_i > 1 $
giả sử $ x_1 > 1,x_2 > 1$
$ x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 \le x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n = x_1 \left( {x_1 - 1} \right) + x_2 \left( {x_2 - 1} \right) + x_1 + x_2 + ... + x_n \le 2\left( {x_1 - 1} \right) + 2\left( {x_2 - 1} \right) + x_1 + x_2 + ... + x_n = 2\left( {x_1 + x_2 } \right) - 1 \le 5$
Vậy bài toán được chứng minh
nếu $ a_1 ,a_2 ,...,a_2009 \in \left[ { - 1;1} \right]$
và $a_1 + a_2 + ... + a_2009 = 2006 $
thì
$a_1^2 + a_2^2 + ... + a_2009^2 \le 2008$
đẳng thức xảy ra khi có một số bằng-1 ,một số bằng 0 và 2007 số bằng 1
do đó GTLN của$a_1^2 + a_2^2 + ... + a_2009^2 $ là 2008

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trịnh tình: 19-08-2009 - 19:43