Chủ đề này có 1 trả lời

[trịnh tình]

Tìm nghiệm nguyên của phươnh trình
$ x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3) $

[mai quoc thang]

Tìm nghiệm nguyên của phươnh trình
$ x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3) $

Viết lại phương trình đã cho dưới dạng : $ (x^2 +y^2)(x+y-4)=4xy+12 \ \ $

Dễ thấy $ x^2+y^2 $ và $ x+y-4 $ cùng tính chẵn lẻ .

Và do vế phải của là chẳn nên suy ra : $ x+y-4 $ chẵn .

Xét trường hợp : $ x+y -4 \geq 4 $

Ta có : $ (x^2+y^2)(x+y-4) \geq 4(x^2+y^2) \geq 2(x^2+y^2)+4xy \geq 64+4xy >4xy+12 $

Trong trường hợp này thì phương trình ban đầu vô nghiệm .

Trường hợp : $ x+y-4 \leq -2 $

Ta có : $ (x^2+y^2)(x+y-4) \leq -2(x^2+y^2) \leq 4xy <4xy+12 $

Trường hợp này cũng dẫn đến phương trình đầu bài vô nghiệm .

Vậy ta chỉ cần xét : $ x+y \in \{ 4;6\} $

Tới đây thì dễ rồi

Phương trình đã cho ko có nghiệm nguyên