Tìm nghiệm nguyên của phươnh trình
$ x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3) $
một Phương trình ngiệm nguyên
Bắt đầu bởi trịnh tình, 02-09-2009 - 20:48
#1
Đã gửi 02-09-2009 - 20:48
#2
Đã gửi 04-09-2009 - 10:41
Tìm nghiệm nguyên của phươnh trình
$ x^3+x^2y+xy^2+y^3=4(x^2+y^2+xy+3) $
Viết lại phương trình đã cho dưới dạng : $ (x^2 +y^2)(x+y-4)=4xy+12 \ \ $
Dễ thấy $ x^2+y^2 $ và $ x+y-4 $ cùng tính chẵn lẻ .
Và do vế phải của là chẳn nên suy ra : $ x+y-4 $ chẵn .
Xét trường hợp : $ x+y -4 \geq 4 $
Ta có : $ (x^2+y^2)(x+y-4) \geq 4(x^2+y^2) \geq 2(x^2+y^2)+4xy \geq 64+4xy >4xy+12 $
Trong trường hợp này thì phương trình ban đầu vô nghiệm .
Trường hợp : $ x+y-4 \leq -2 $
Ta có : $ (x^2+y^2)(x+y-4) \leq -2(x^2+y^2) \leq 4xy <4xy+12 $
Trường hợp này cũng dẫn đến phương trình đầu bài vô nghiệm .
Vậy ta chỉ cần xét : $ x+y \in \{ 4;6\} $
Tới đây thì dễ rồi
Phương trình đã cho ko có nghiệm nguyên
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh