Chủ đề này có 7 trả lời

[phuc_007]

tim nghiem nguyen duong cua pt:x^3+y^3=2003^4

[hung0503]

Bài này đơn giản thôi....
Xét mọi trường hợp về số dư của VT theo module 9, mà 2003^4 chia 9 dư 4, vậy pt vô no

[math93]

Đây chỉ là một trường hợp nhỏ của bài toán sau:
(Đề thi Olympic 30-4 năm 2009, Toán 10)
Tìm số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại các số nguyên dương $n,x,y$ thỏa :$p^n=x^3+y^3$
Đáp số của bài toán là: $p=2,p=3$
Chú ý: 2003 là số nguyên tố.

[*LinKinPark*]

Em giải rõ ra bài tổng quát. Xét TH $ p=2,p=3 $ Bộ số $ \left( {x,y} \right) $ cần tìm lần lượt là $ \left( {1,1} \right) $ và $ \left( {1,2} \right) $
TH: $ p > 3 $. Chọn $ n $ sao cho $ n $ nhỏ nhất
Ta có: $ \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = {p^n} $
Mà $ x + y,{x^2} - xy + {y^2} > 1 \Rightarrow $ cả $ x + y $ và $ {x^2} - xy + {y^2} $ đều $ \vdots p $
$ \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - \left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) = 3xy \vdots p $
Do $ p>3 $ nên $ x \vdots p $ hoặc $ y \vdots p $. Lại có $ \left( {x + y} \right) \vdots p $ nên cả $ x,y $ đều chia hết cho $ p $
Suy ra $ {p^{n - 3}} = {\left( {\dfrac{x}{p}} \right)^3} + {\left( {\dfrac{y}{p}} \right)^3} \Leftrightarrow {p^{n'}} = {\left( {x'} \right)^3} + {\left( {y'} \right)^3} $
Vậy ta tìm được một bộ $ \left( {n',x',y'} \right) $ mà $ n' < n $ (Vô lí vì n nhỏ nhất)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi *LinKinPark*: 31-01-2010 - 22:16

[maths_lovely]

tim nghiem nguyen duong cua pt:$x^3+y^3=2003^4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 11-02-2010 - 08:50

[maths_lovely]

Cho hỏi chút
Từ cái chỗ $x+y;x^2-xy+y^2>1$ sao suy dc cả 2 đều chia hết cho p

[triều]

p nguyên tố

[maths_lovely]

o` we^n