Chủ đề này có 11 trả lời

[mai quoc thang]

Cho $ a,b,c>0 $ .

Chứng minh :

$\sum \sqrt {\dfrac {ab}{(a + b)(b + c)}} \leq \dfrac {3}{2}$

[takeshi]

Cho $ a,b,c>0 $ .

Chứng minh :

$\sum \sqrt {\dfrac {ab}{(a + b)(b + c)}} \leq \dfrac {3}{2}$

Làm tạm bài!^^
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
$\sum\sqrt{\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}}=\sum\sqrt{ab.\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}}\leq\sqrt{(ab+bc+ca)\sum\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}}=\sqrt{\dfrac{2pq}{pq-9r}}\leq\dfrac{3}{2}$
(với $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$, để ý $pq\geq 9r$ trong chỗ đánh giá cuối!^^ Done!)

[mai quoc thang]

Làm tạm bài!^^
Áp dụng Cauchy-Schwarz:
$\sum\sqrt{\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}}=\sum\sqrt{ab.\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}}\leq\sqrt{(ab+bc+ca)\sum\dfrac{1}{(a+b)(b+c)}}=\sqrt{\dfrac{2pq}{pq-9r}}\leq\dfrac{3}{2}$
(với $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$, để ý $pq\geq 9r$ trong chỗ đánh giá cuối!^^ Done!)

Giải hay đấy chứ

Cái đánh giá cuối thực ra tương đương : $ \sum_{cyc} ab(a+b) \geq 6abc $ thôi ... chẳng cần p q r làm gì đâu

[takeshi]

Giải hay đấy chứ

Cái đánh giá cuối thực ra tương đương : $ \sum_{cyc} ab(a+b) \geq 6abc $ thôi ... chẳng cần p q r làm gì đâu

Thằng bạn em làm hay hơn em!
Theo AM-GM:$\sqrt{\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}}\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c})$
Lập hai cái tương tự, cộng lại có đpcm!^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takeshi: 17-10-2009 - 19:11

[mai quoc thang]

Thằng bạn em làm hay hơn em!
Theo AM-GM:$\sqrt{\dfrac{ab}{(a+b)(b+c)}}\leq\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c})$
Lập hai cái tương tự, cộng lại có đpcm!^^

Hay thì có hay thật .... nhưng có vẻ như ko đúng

Chú ý bất đẳng thức : $ \sum \dfrac{a}{a+b} \leq \dfrac{3}{2} $ là sai ... cho $ a=0,1;b=0,01;c=0,001 $ là thấy ngay

[takeshi]

Hay thì có hay thật .... nhưng có vẻ như ko đúng

Chú ý bất đẳng thức : $ \sum \dfrac{a}{a+b} \leq \dfrac{3}{2} $ là sai ... cho $ a=0,1;b=0,01;c=0,001 $ là thấy ngay

Ý em không phải thế, lập ba cái tương tự sẽ có $VP=\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a})=\dfrac{3}{2}$

[mai quoc thang]

Ý em không phải thế, lập ba cái tương tự sẽ có $VP=\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a})=\dfrac{3}{2}$

Biết ngay là sẽ nhầm chỗ này mà

Xem nhá : $ \sum_{cyc}\dfrac {b}{b + c} = \sum_{cyc}\dfrac {a}{a + b} $

[hoangnbk]

Bạn của takeshi làm đúng ùi
$VP=\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a})= \dfrac{1}{2} ( \dfrac{a+b}{a+b}+ \dfrac{b+c}{b+c} + \dfrac{c+a}{c+a} ) =\dfrac{3}{2}$

[hieu_math]

Bạn của takeshi làm đúng ùi
$VP=\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{c+a})= \dfrac{1}{2} ( \dfrac{a+b}{a+b}+ \dfrac{b+c}{b+c} + \dfrac{c+a}{c+a} ) =\dfrac{3}{2}$

em thấy bài anh takeshi đúng rồi mà sao anh mai quoc thang cứ bảo sai

[Toanlc_gift]

lời giải của takesi sai rồi,có thể thấy:
$\sqrt {\dfrac{{ab}}{{(a + b)(b + c)}}} + \sqrt {\dfrac{{bc}}{{(b + c)(c + a)}}} + \sqrt {\dfrac{{ca}}{{(c + a)(a + b)}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{a}{{a + b}}} \right)$
cộng lại sẽ không ra $\dfrac{3}{2}$ đâu,tách thế nào cũng không thể ra được
chỉ có bất đẳng thức này mới giải được theo cách trên:
$\sum {\sqrt {\dfrac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}} } \le \dfrac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 19-10-2009 - 19:56

[takeshi]

lời giải của takesi sai rồi,có thể thấy:
$\sqrt {\dfrac{{ab}}{{(a + b)(b + c)}}} + \sqrt {\dfrac{{bc}}{{(b + c)(c + a)}}} + \sqrt {\dfrac{{ca}}{{(c + a)(a + b)}}} \le \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{a}{{a + b}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{b}{{b + c}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{c}{{c + a}} + \dfrac{a}{{a + b}}} \right)$
cộng lại sẽ không ra $\dfrac{3}{2}$ đâu,tách thế nào cũng không thể ra được
chỉ có bất đẳng thức này mới giải được theo cách trên:
$\sum {\sqrt {\dfrac{{ab}}{{(a + c)(b + c)}}} } \le \dfrac{3}{2}$

Anh nói đúng........hôm qua về ngẫm lại thấy sai toàn tập.....rút kinh nghiệm k coi thường bài hoán vị:">
Thế làm Cauchy-Schwarz như đầu là ổn:">

[mai quoc thang]

Cho $ a,b,c>0 $ .

Chứng minh :

$\sum \sqrt {\dfrac {ab}{(a + b)(b + c)}} \leq \dfrac {3}{2}$

Đây là lời giải của Ji Chen

$ \sum_{cyc} \sqrt {\dfrac {ab}{(a + b)(b + c)}} \leq\sum_{cyc}\dfrac {13a^2b + 4a^2c + 9b^2a + 5c^2a + 5c^2b + 12abc}{12(a + b)(b + c)(c + a)} = \dfrac {3}{2} $