Chủ đề này có 3 trả lời

[hieu_math]

Giả sử x;y;z là các số thực thỏa mãn điều kiện 0 x ; y ; z 2 và x + y + z =3
Tìm min và max của
P=x^4 + y^4 + z^4 + 12(1-x)(1-y)(1-z)
Các anh hộ em cái em vãn chưa nghĩ ra

[tuan101293]

bài này một lần anh ng?#8220;i giải r?#8220;i nhưng quên link:D
phải ng?#8220;i làm lại
*****
min trc:
đặt $P=f(x,y,z)$
ko giảm tính tổng quát giả sử x=max(x,y,z) suy ra $x\ge 1$
xét hiệu
$f(x,y,z)-f(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2})=\dfrac{(y-z)^2}{8}*(7y^2+10yz+7z^2+24x-24)\ge 0$
suy ra $f(x,y,z)\ge f(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2})$
xét hiệu
$f(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2})-3=\dfrac{9}{8}*(x-1)^2(x^2-2x+9)\ge 0$
suy ra $f(x,y,z)\ge f(x,\dfrac{y+z}{2},\dfrac{y+z}{2})\ge 3$
min =3 ,dấu = khi x=y=z=1
********
max
giả sử x=max(x,y,z)
xét hiệu
$f(x,y,z)-f(x,(y+z),0)=2yz(2y^2+2z^2+3yz+6x-6)\ge 0$
$f(x,y+z,0)-17=2(x-1)(x-2)(x^2-3x+10)\le 0$ do $1\le x\le 2$
suy ra f max=17 khi (x,y,z)=(2,1,0)
xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 05-10-2009 - 18:03

[Toanlc_gift]

Giả sử $x;y;z$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $0 \le x ; y ; z \le 2$ và $x+ y + z =3$
Tìm min và max của
$P=x^4 + y^4 + z^4 + 12(1-x)(1-y)(1-z)$
Các anh hộ em cái em vãn chưa nghĩ ra

bài này có thể giải đơn giản như sau:
chú ý đến kết quả sau:
nếu $a+b+c=0$thì $3abc=a^3+b^3+c^3$
suy ra $x^4 +4(1-x)^3+y^4+4(1-y)3+z^4+4(1-z)^3$
từ đó đôn biến hoặc xét hàm một biến sẽ dễ hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toanlc_gift: 05-10-2009 - 20:09

[leviethai1994]

Còn một cách nữa, là bạn đặt
$ 1-x = a, 1-y = b, 1-z = c $ $-1 $ $a,b,c $ $1$, $a+b+c = 0$

Thế vào A, đồng thời sử dụng$ a+b+c = 0$ $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ để đơn giản biểu thức
$A = a^4 + b^4 + c^4 + 6(a^2+b^2+c^2) + 3$ , từ đây suy ra thẳng $A$ $3$ , đẳng thức xảy ra khi $a = b = c = 0$ $ x=y=z=1$

$-1 $ $a,b,c $ $1$ nên $ a^4$ $a^2$, và tương tự cho b,c

Nên $A$ $7(a^2+b^2+c^2) + 3$

Đặt $ab+bc+ca = M$, do $a+b+c = 0$ nên$ a^2+b^2+c^2 = -2M$


Do $-1$ $a,b,c$ $1$ $ (a+1)(b+1)(c+1) + (1-a)(1-b)(1-c) $ $ 0$

Khai triển ta được $M $ $-1$, $ a^2+b^2+c^2 = -2M$ nên $ a^2+b^2+c^2$ $2$

Vậy $A$ $17$, đẳng thức xảy ra khi $a=1, b=0, c=-1$ $ x=0, y=1, z=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 06-10-2009 - 22:07