Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * - 3 Bình chọn

$\left( \sum kx_k \right) \left( \sum x^2_k \right) \geq \mathcal C(n) \left( \sum x_k \right)^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1575 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quận 7, TP HCM
  • Sở thích:bên em

Đã gửi 06-10-2009 - 21:59

Bài Toán này chưa có lời giải bằng Đại Số thuần túy nên post đây thử xem



Bài Toán : Với $n \ \geq 2 $ . Tìm hằng số $ \mathcal C(n)$ lớn nhất sao cho với mọi bộ $n$ số thực không âm$ x_1 ; x_2 ; ....; x_n $ thì bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$ (x_1 + 2 x_2 + ...+ nx_n)( x^2_1 + x^2_2 +...+x^2_n) \ \geq \ \mathcal C(n) \left( x_1 + x_2 +...+ x_n \right)^3$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 12-04-2014 - 11:25

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 14-04-2014 - 20:51

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng      @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng      @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 15/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng      @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 ilovelife

ilovelife

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 371 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đang ở ẩn

Đã gửi 15-04-2014 - 20:06

Bài toán tương đương với:
Tìm $min$ của $\frac{\left( \sum kx_k \right) \left( \sum x^2_k \right)}{ \left( \sum x_k \right)^3 }$
[...]
Do có một số vấn đề, em chưa chắc chắn với lời giải của mình (em sẽ post sau), nhưng mọi người thử xem kết quả:
 
$C(n) = \frac{2 (n+1) (2n-1)- 2 \sqrt {2n+2}} {9 n (n-1)}$ có đúng không ?

Bài giải của em không dùng đại số thuần túy nên em sẽ post lời giải sau


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 16-04-2014 - 22:23

God made the integers, all else is the work of man.

People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.

 


#4 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-04-2014 - 21:16

Theo em nghĩ kết quả bài này là 1 hằng số gì đó liên quan đến $\pi$, vì hình dáng nó khá giống với bài toán của Fritz Carlson sau :P

Cho $n$ số thực dương $a_1,...,a_n$, chứng minh $\pi^2$ là hằng số tốt nhất để bất đẳng thức sau luôn đúng :

$$C.(a_1^2+a_2^2+...+a_{n}^2).(1.a_1^2+2^2.a_2^2+...+n^2.a_n^2)\geq (a_1+a_2+...+a_n)^4$$

Lời giải sử dụng Cauchy-Schwarz.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 15-04-2014 - 21:17

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#5 nguyen thi dien

nguyen thi dien

    Binh nhất

  • Pre-Member
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-05-2014 - 16:00

minh thu giai trong truong hop $n \geq 4$

 

.con cac truong hop khac cac ban tu lam nha.thwo de bai thi ta chi can chung minh trong truong hop $x_{n}$ la day giam.dat $y_{n}=x_{n}/n $ .khi do $y_{n}$ la mot day giam. $

 

\sum_{1}^{n}y_{k}= ln $\left ( voi l la so nguyen duong nao do \right ).khi do ta se chung minh $\sum k^{2}y_{k}\geq (\sum ky_{k}\left )( 2n-1 \right )-2ln(n-1)(n+1)/3.bang cach co dinh cac bien va chi cho 2 bien y_{k}va y_{h} thay doi sao cho tong cua chung khong doi$$dat \left ( y_{k}+y_{h} \right )/2=u,\left ( y_{k}-y_{h} \right )/2=v\left ( h\geq k \right )\Rightarrow v\geq 0.khi do dat g\left ( v \right )=k^{2}\left ( u+v \right )+h^{2}(u-v)-(2n-1)\left [ k(u+v)+h(u-v) \right ]$$\Rightarrow g{\left ( v \right )}'= (k-h)(k+h-2n+1)\geq 0.\Rightarrow g(v)\geq g\left ( 0 \right )\Rightarrow ket luan tren$$lai co (k^{2}y_{k}-k^{2}l)^{2}\geq 0\forall k.\Leftrightarrow k^{2}y_{k}^{2}\geq 2lk^{2}y_{k}-k^{2}l^{2}\Rightarrow \sum k^{2}l^{2}\geq 2l(\sum k^{2}y_{k})-l^{2}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right )/6\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(n-3)/6$$$\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6$.dat\sum ky_{k}=x.khi do ta co VT\geq [(2n-1)x-2ln(n-1)(n+1)/3]\left [ 2l(2n-1)x-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6 \right ]$.$bay gio ta chi can chung minh no\geq 2(2n+1)^{2}x^{3}/\left ( 9(n+1)n \right ).\Leftrightarrow 2(2n+1)^{2}x^{3}/(9n(n+1))-2l(2n-1)^{2}x^{2}+l^{2}n(n+1)(2n-1)(9n-5)x/2+l^{3}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}(n-1)(10n-7)/9\leq 0.dat VT =f\left ( x \right ).f{\left ( x \right )}'=2\left ( 2n+1 \right )^{2}x^{2}/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}x+l^{2}n(n+!)(2n-1)(9n-5)/2.f\left ( x \right )''=4(2n+1)^{2}x/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}.do y_{n}la day giam nen ap dung bat dang thuc cheybeychev ta co\sum ky_{k}\leq \left ( \sum k \right ).\left ( \sum y_{k} \right )/n=ln(n+1)/2.\Rightarrow f{}''(x)\leq 0.\Rightarrow f{\left ( x \right )}'\geq f{}'\left ( ln(n+1)/2 \right )\geq 0\forall n\geq 4 \right ) \right )\Rightarrow f\left ( x \right)\leq f\left ( ln(n+1)/2 \right )=0.dpcm.dau = xay ra khi y_{i}=y_{j}\forall i,j=1\overline{,n}.\Leftrightarrow x_{i}/i=x_{j}/j\forall i,j=1\overline{,n}.$neu co gi sai xot thi moi nguoi  bao cho minh qua sdt 01683459471 nha.can on nhieu


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 07-08-2014 - 12:59

conan

#6 nguyen thi dien

nguyen thi dien

    Binh nhất

  • Pre-Member
  • 44 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-05-2014 - 16:02

minh thu giai trong truong hop n$\geq 4.con cac truong hop khac cac ban tu lam nha.thwo de bai thi ta chi can chung minh trong truong hopx_{n} la day giam.dat y_{n}=x_{n}/n.khi do y_{n} la mot day giam.$$dat \sum_{1}^{n}y_{k}= ln\left ( voi l la so nguyen duong nao do \right ).khi do ta se chung minh $\sum k^{2}y_{k}\geq (\sum ky_{k}\left )( 2n-1 \right )-2ln(n-1)(n+1)/3.bang cach co dinh cac bien va chi cho 2 bien y_{k}va y_{h} thay doi sao cho tong cua chung khong doi$$dat \left ( y_{k}+y_{h} \right )/2=u,\left ( y_{k}-y_{h} \right )/2=v\left ( h\geq k \right )\Rightarrow v\geq 0.khi do dat g\left ( v \right )=k^{2}\left ( u+v \right )+h^{2}(u-v)-(2n-1)\left [ k(u+v)+h(u-v) \right ]$$\Rightarrow g{\left ( v \right )}'= (k-h)(k+h-2n+1)\geq 0.\Rightarrow g(v)\geq g\left ( 0 \right )\Rightarrow ket luan tren$$lai co (k^{2}y_{k}-k^{2}l)^{2}\geq 0\forall k.\Leftrightarrow k^{2}y_{k}^{2}\geq 2lk^{2}y_{k}-k^{2}l^{2}\Rightarrow \sum k^{2}l^{2}\geq 2l(\sum k^{2}y_{k})-l^{2}n\left ( n+1 \right )\left (2n+1 \right )/6\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(n-3)/6$$$\geq 2l(2n-1)\sum ky_{k}-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6$.dat\sum ky_{k}=x.khi do ta co VT\geq [(2n-1)x-2ln(n-1)(n+1)/3]\left [ 2l(2n-1)x-l^{2}n(n+1)(10n-7)/6 \right ]$.$bay gio ta chi can chung minh no\geq 2(2n+1)^{2}x^{3}/\left ( 9(n+1)n \right ).\Leftrightarrow 2(2n+1)^{2}x^{3}/(9n(n+1))-2l(2n-1)^{2}x^{2}+l^{2}n(n+1)(2n-1)(9n-5)x/2+l^{3}n^{2}\left ( n+1 \right )^{2}(n-1)(10n-7)/9\leq 0.dat VT =f\left ( x \right ).f{\left ( x \right )}'=2\left ( 2n+1 \right )^{2}x^{2}/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}x+l^{2}n(n+!)(2n-1)(9n-5)/2.f\left ( x \right )''=4(2n+1)^{2}x/(3n(n+1))-4l(2n-1)^{2}.do y_{n}la day giam nen ap dung bat dang thuc cheybeychev ta co\sum ky_{k}\leq \left ( \sum k \right ).\left ( \sum y_{k} \right )/n=ln(n+1)/2.\Rightarrow f{}''(x)\leq 0.\Rightarrow f{\left ( x \right )}'\geq f{}'\left ( ln(n+1)/2 \right )\geq 0\forall n\geq 4 \right ) \right )\Rightarrow f\left ( x \right)\leq f\left ( ln(n+1)/2 \right )=0.dpcm.dau = xay ra khi y_{i}=y_{j}\forall i,j=1\overline{,n}.\Leftrightarrow x_{i}/i=x_{j}/j\forall i,j=1\overline{,n}.$neu co gi sai xot thi moi nguoi  bao cho minh qua sdt 01683459471 nha.can on nhieu


conan




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh