Chủ đề này có 9 trả lời

[hieu_math]

cho a;b;c>0 và a+b+c+1=abc
CMR: ab+bc+ca>a+b+c

[takeshi]

Bài này đúng đề phải là:
Cho $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c+1=4abc$.Chứng minh rằng: $ab+bc+ca\geq a+b+c$.
Đợt thấy bài này ở đâu đó nhưng quên rồi!^^

Từ điều kiện, suy ra tồn tại $x,y,z$ là ba cạnh tam giác sao cho $a=\dfrac{x}{y+z-x},b=\dfrac{y}{z+x-y},c=\dfrac{z}{x+y-z}$.
Thế vào, ta phải chứng minh: $\sum\dfrac{xy}{(y+z-x)(z+x-y)}\geq\sum\dfrac{x}{y+z-x}$.(1)
Để ý $x,y,z$ là ba cạnh tam giác nên tồn tại $m,n,p> 0$ sao cho $x=n+p,y=p+m,z=m+n$.
Thay vào (1), bất đẳng thức tương đương:
$m^3+n^3+p^3+3mnp\geq mn(m+n)+np(n+p)+pm(p+m)$.
Đây là bđt Schur! Ta có điểu phải chứng minh!^^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi takeshi: 13-10-2009 - 12:03

[namdung]

cho a;b;c>0 và a+b+c+1=abc
CMR: ab+bc+ca>a+b+c

Từ điều kiện suy ra a(bc-1) = b + c + 1. Suy ra bc > 1, tương tự ac > 1, ca > 1. Như vậy có ít nhất 2 số lớn hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là b, c.

Rút a = (b+c+1)/(bc-1) và thay vào, ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(b+c)^2 - 1 + b^2c^2 - bc - (b+c)bc > 0
<=> (b+c-bc)^2 + bc(c-1) + cb^2 - 1 > 0

Đúng do b, c > 1.

[hieu_math]

Từ điều kiện suy ra a(bc-1) = b + c + 1. Suy ra bc > 1, tương tự ac > 1, ca > 1. Như vậy có ít nhất 2 số lớn hơn 1. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là b, c.

Rút a = (b+c+1)/(bc-1) và thay vào, ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

(b+c)^2 - 1 + b^2c^2 - bc - (b+c)bc > 0
<=> (b+c-bc)^2 + bc(c-1) + cb^2 - 1 > 0

Đúng do b, c > 1.

Thay namdung ơi cho em hỏi : theo cách của anh takesi thì tai sao với giả thiết ab+bc+ca+1=4abc
suy ra tồn tại x;y;z là ba cạnh tam giác sao cho a=x/ y+z-x ; b=y/z+x-y ; c=z/x+y-z
em chưa hiểu chỗ này lắm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hieu_math: 18-10-2009 - 19:59

[namdung]

Cái này chắc là có phương pháp chung ở đâu đó rồi. Tuy nhiên, khi đi thi thì các bạn phải trình bày đầy đủ lý do tại sao đặt được như vậy.

Thực ra bài toán x + y + z + 1 = 4xyz => xy + yz + zx >= x + y + z có thể giải đơn giản hơn nhiều, chỉ dùng phép thế là ra thôi.

[takeshi]

Thay namdung ơi cho em hỏi : theo cách của anh takesi thì tai sao với giả thiết ab+bc+ca+1=4abc
suy ra tồn tại x;y;z là ba cạnh tam giác sao cho a=x/ y+z-x ; b=y/z+x-y ; c=z/x+y-z
em chưa hiểu chỗ này lắm

Khi đi thi thì sẽ phải chứng minh với mọi a,b,c thì sẽ tồn atij x,y,z thỏa mãn! Còn tại sao nghĩ ra thì anh dự đoán thôi, khi đúng khi sai! Cách tốt nhất em thay x,y,z vào đẳng thức, thử vài ba trường hợp thấy thỏa mãn là đúng@^^

[apollo_1994]

Hic,nhìn em lại nhớ đến bài này(câu 5 vòng 1 thi vào chuyên hùng vương)

Cho $x,y,z>0 $thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\leq\dfrac{3}{2}$
Bài này thì đặt kiểu gì nhỉ?

[hieu_math]

Hic,nhìn em lại nhớ đến bài này(câu 5 vòng 1 thi vào chuyên hùng vương)

Cho $x,y,z>0 $thỏa mãn $xyz=x+y+z+2$
Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{zx}}\leq\dfrac{3}{2}$
Bài này thì đặt kiểu gì nhỉ?

Bài này làm như sau:
từ giả thiết suy ra: 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) =1
đặt 1/(x+1) = a ; 1/(y+1) =b; 1/(z+1)=c
rồi tính x;y;z;theo a;b;c thay vào DPCM là ra

[takeshi]

Bài này làm như sau:
từ giả thiết suy ra: 1/(x+1) + 1/(y+1) + 1/(z+1) =1
đặt 1/(x+1) = a ; 1/(y+1) =b; 1/(z+1)=c
rồi tính x;y;z;theo a;b;c thay vào DPCM là ra

Bài này mình không tự làm!=.="
Đặt $a=\dfrac{1}{x+1},....$ như ku Hiếu làm:">!
Xem trong Old and new Ineq ý mờ:">!~

[hieu_math]

bài này là đề thi chuyên Hùng Vương năm 2009 vòng 1 mà