Chủ đề này có 10 trả lời

[supermember]

Bài Toán :

Cho các số thực dương $a,b,c,d,x,y,z,t$ thỏa mãn :

$(a + b + c + d)(x + y + z + t) = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)(x^2 + y^2 + z^2 + t^2) = 9$


Chứng minh rằng :

$abcdxyzt \le \dfrac {9}{256}$

Nguyễn Kim Anh

[namdung]

Tôi cứ dùng thử cách kinh điển trong ONI xem sao:

$ 4(\sum ab)( \sum xy) = ((\sum a)^2 - \sum a^2)((\sum x)^2 - \sum x^2) =
9^2 + 9 - (\sum a)^2(\sum x^2) - (\sum x)^2(\sum a^2) \le 90 - 2\sqrt{(\sum a)^2(\sum x^2)(\sum x)^2(\sum a^2)}=36$

Suy ra $ (\sum ab)( \sum xy) \le 9 $

Bây giờ áp dụng bất đẳng thức $(\sum ab)^3 \ge \dfrac{27}{2} abcd(a+b+c+d)^2 $ và bất đẳng thức $ (\sum xy)^3 \ge \dfrac{27}{2} xyzt(x+y+z+t)^2$

Nhân các bất đẳng thức này lại với nhau, chú ý đến , ta được

$ 9^3 \ge \dfrac{27^2}{4}abcdxyzt(a+b+c+d)^2(x+y+z)^2 $

Từ đó suy ra abcdxyzt < 4/81.

Vẫn chưa đạt đến con số 9/256.

Phải cố thêm tí nữa.

[vo thanh van]

Đây là solution của em:
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz ta có:
$(a^2+b^2+c^2+d^2)12\ge (3a+b+c+d)^2$
Tương tự ta có $(x^2+y^2+z^2+t^2)12\ge (3x+y+z+t)^2$
$\Rightarrow (3a+b+c+d)(3x+y+z+t)\le 36(*)$
Đặt $M=b+c+d,N=y+z+t$,từ và giả thiết ta có $\left\{\begin{array}{l}(a+M)(x+N)=9(1)\\(3a+M)(3x+N)\le 36(2)\end{array}\right. $
Lấy $(2)-3.(1)$ ta có $MN\ge 3ax-\dfrac{9}{2}$
Thay vào (2),ta có: $36\ge 12ax+3aN+3xM-\dfrac{9}{2}\ge 12ax+\sqrt{6axMN}-\dfrac{9}{2}(AM-GM)$
$\ge 12ax+6\sqrt{ax(3ax-\dfrac{9}{2})}-\dfrac{9}{2}(3)$
Đặt $t=ax$,khi đó $(3) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}27-8t\ge 0\\(27-8t)^2\ge 16t(3t-\dfrac{9}{2})\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}t\le \dfrac{27}{8}\\(4t-9)(4t-81)\ge 0\end{array}\right. $
$\Rightarrow t\le \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow ax\le \dfrac{9}{4}$
Trở lại giả thiết,áp dụng BDT AM-GM,ta có:
$a+b+c+d\ge 6 \sqrt[6]{\dfrac{a^3bcd}{3^3}} $
và $x+y+z+t\ge 6 \sqrt[6]{\dfrac{x^3yzt}{3^3}} $
$ \Rightarrow 9=(a+b+c+d)(x+y+z+t)\ge 36 \sqrt[6]{\dfrac{abcdxyzt.(ax)^2}{3^6}}$
$ \Rightarrow \dfrac{3^6}{2^{12}(ax)^2}\ge abcdxyzt$
$ \Rightarrow abcdxyzt\le \dfrac{9}{256}$
Đẳng thức xảy ra khi các bộ $(a,b,c,d),(x,y,z,t)$ là hoán vị của bộ số $(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2})$

[mai quoc thang]

Đẹp thì có đẹp thật nhưng đánh giá sau cuối bị sai mất rồi

[vo thanh van]

Đẹp thì có đẹp thật nhưng đánh giá sau cuối bị sai mất rồi

I'm sorry
Để mình thử lời giải khác xem sao:
Áp dụng BDT AM-GM,ta có:
$\dfrac{a}{3}bcd\le (\dfrac{a+3(b+c+d)}{12})^4$
Tương tự $\dfrac{x}{3}yzt\le (\dfrac{x+3(y+z+t)}{12})^4$
$ \Rightarrow \dfrac{1}{9}abcdxyzt\le (\dfrac{a+3(b+c+d)}{12})^4(\dfrac{x+3(y+z+t)}{12})^4$
Ta cần chứng minh $(a+3M)(x+3N)\le 36$ với $M=b+c+d,N=y+z+t$
Thực vậy,áp dụng BDT Tchebyshev,ta có:
$(a+3M)(x+3N)\le \dfrac{1}{2}(1+3)(a+M).\dfrac{1}{2}(1+3)(x+N)=36$
Vậy ta có đpcm
Mọi người check lại giùm nhé,chưa sử dụng giả thiết $(a+b+c+d)(x+y+z+t)=(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)$

[quangvinht2]

I'm sorry
Để mình thử lời giải khác xem sao:
Áp dụng BDT AM-GM,ta có:
$\dfrac{a}{3}bcd\le (\dfrac{a+3(b+c+d)}{12})^4$
Tương tự $\dfrac{x}{3}yzt\le (\dfrac{x+3(y+z+t)}{12})^4$
$ \Rightarrow \dfrac{1}{9}abcdxyzt\le (\dfrac{a+3(b+c+d)}{12})^4(\dfrac{x+3(y+z+t)}{12})^4$
Ta cần chứng minh $(a+3M)(x+3N)\le 36$ với $M=b+c+d,N=y+z+t$
Thực vậy,áp dụng BDT Tchebyshev,ta có:
$(a+3M)(x+3N)\le \dfrac{1}{2}(1+3)(a+M).\dfrac{1}{2}(1+3)(x+N)=36$
Vậy ta có đpcm
Mọi người check lại giùm nhé,chưa sử dụng giả thiết $(a+b+c+d)(x+y+z+t)=(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+t^2)$

Lời giải này còn tệ hơn. Áp dụng Tchebysev mà ko để ý điều kiện. Làm gì có $a \geq M ? $

[vo thanh van]

Ta đã có $(3a+M)(3x+N)\le 36$ rồi mà
Tức là nếu theo BDT Tchebyshev,ta có $(3a+M)(3x+N)\le \dfrac{1}{2}(1+3)(a+M).\dfrac{1}{2}(1+3)(x+N)=36$(đúng)
Từ đây ta suy ra đây là 2 bộ đơn điệu ngược chiều thôi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo thanh van: 11-11-2009 - 13:10

[quangvinht2]

Ta đã có $(3a+M)(3x+N)\le 36$ rồi mà
Tức là nếu theo BDT Tchebyshev,ta có $(3a+M)(3x+N)\le \dfrac{1}{2}(1+3)(a+M).\dfrac{1}{2}(1+3)(x+N)=36$(đúng)
Từ đây ta suy ra đây là 2 bộ đơn điệu ngược chiều thôi

Thế BDT Tchebysev có chiều đảo à bạn? ;

[Bùi Việt Anh]

Nếu các bạn muốn một lời giải thuần túy cổ điển thì xin mời tiếp tục! Còn nếu đơn thuần là cần 1 lời giải thì GLA hay ABC đều dễ dàng giúp ta thỏa mãn điều này, kể cả bài toán tổng quát với 2n biến, thậm chí là mũ k ( với k thực ) cái điều kiện ban đầu.
Đại ý lời giải thế này:
Cố định 5 biến d, x, y, z, t và cho a, b, c chạy.
Lại tiếp tục cố định ab+ac+bc
Từ điều kiện ban đầu ta tính được a+b+c theo d, x, y, z, t và ab+ac+bc. Điều này có nghĩa là a+b+c=const.
Theo định lý trong GLA hay ABC ta suy ra được: abc đạt giá trị lớn nhất khi trong 3 biến có 2 biến bằng nhau ( cụ thể là 2 biến nhỏ hơn bằng nhau ).
Do vai trò của các biến như nhau nên ta đi đến kết luận:
Để tích abcdxyzt đạt max thì trong 4 biến a, b, c, d có 3 biến bằng nhau và nhỏ hơn hoặc bằng biến còn lại; trong 4 biến x, y, z, t có 3 biến bằng nhau và nhỏ hơn hoặc bằng biến còn lại.
Bài toán được giải quyết!
Cách làm hoàn toàn tương tự với khi ta thay bài toán 8 biến thành 2n biến.

[vo thanh van]

Nếu các bạn muốn một lời giải thuần túy cổ điển thì xin mời tiếp tục!

Vâng ạ,em thực sự muốn một lời giải sơ cấp,thuần túy cổ điển cho nó.Bài này có thể dùng EV để giải quyết nhưng mà em không thích lắm.Anh Việt Anh có ý kiến gì về hướng giải quyết theo cổ điển không?

[123455]

Cho em hỏi cái ABC tổng quát như thế nào ạ!
Hiện giờ trình độ em chỉ biết để sử dụng cho 3 biến thui!!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 123455: 13-11-2009 - 23:47