Chủ đề này có 23 trả lời

[phuc_007]

chung minh rang pt ^4+y^4+z^4=2 co vo so nghiem huu ti

[phuc_007]

cac pro dau het roi

[Pirates]

Bài này quen quen, hướng là như này:
Các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Khi đó ta có:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = x^{4} + y^{4} + (x + y)^{4} = 2(x^{2} + y^{2} + xy)^{2}$
Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.

[phuc_007]

Bài này quen quen, hướng là như này:
Các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Khi đó ta có:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = x^{4} + y^{4} + (x + y)^{4} = 2(x^{2} + y^{2} + xy)^{2}$
Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.

ban lam tiep di

[phuc_007]

Giả sử phương trình có nghiệm là $ x=ky \Rightarrow y=\sqrt{\dfrac{1}{k^2+k+1}}$
Thế là có ct nghiệm của pt rồi đấy!

hinh nhu sai roi ban oi

[bapwin]

Mình chả hiểu gì, ai làm trọn vẹn dùm cái

[king_math]

bài này cũng dễ hiểu mà đọc kĩ 1 chút là hiểu ngay thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi king_math: 31-12-2009 - 09:52

[Pirates]

Bài này cứ làm theo hướng của mình trên kia là đúng, nhưng không dễ đâu. Nếu bạn thấy đơn giản thì post lời giải đầy đủ lên cho mọi người tham khảo đi.

[phuc_007]

anh pirates làm luôn cái , thank nhiều

[nguyen thai phuc]

Mình xin tổng kết lại:
Xét các nghiệm thỏa mãn x+y=z
$\ <=> x^4 + y^4 + z^4 = (x + y)^4 + x^4 + y^4 = (x^2 + y^2 + xy)^2 = 1 \\ < = > x^2 + y^2 + xy = 1 \$
MÌnh tiếp tục chứng minh phương trình $\ x^2 + y^2 + xy = 1(1)\$ có vô số nghiệm
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
với mọi k
vậy hệ pt có vô số nghiệm
Mình chả có công gì cả, chỉ là viết lại cho bạn dễ hiểu thôi.

[Janienguyen]

Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
Bây h ta chỉ cần chỉ ra y có vô số các giá trị hữu tỉ -->x,z cũng hữu tỉ
tương đương với
$ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} $ nhận vô số các giá trị hữu tỉ
Tôi nhớ tới 1 bài dùng pt pell mà bạn phúc đã nêu
từ đây ta chỉ cần cm y nhận vô số các giá trị hữu tỉ dựa trên ý tưởng của bài toán đó
Tức cm
Pt $ {k^2 + k + 1=a^2 $ có vô số nghiệm hữu tỉ
với kết quả này ta cũng đủ cm đc bài toán trên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 30-12-2009 - 21:00

[maths_lovely]

Mình xin tổng kết lại:
Xét các nghiệm thỏa mãn x+y=z
$\ <=> x^4 + y^4 + z^4 = (x + y)^4 + x^4 + y^4 = (x^2 + y^2 + xy)^2 = 1 \\ < = > x^2 + y^2 + xy = 1 \$
MÌnh tiếp tục chứng minh phương trình $\ x^2 + y^2 + xy = 1(1)\$ có vô số nghiệm
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
với mọi k
vậy hệ pt có vô số nghiệm
Mình chả có công gì cả, chỉ là viết lại cho bạn dễ hiểu thôi.

Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
Bây h ta chỉ cần chỉ ra y có vô số các giá trị hữu tỉ -->x,z cũng hữu tỉ
tương đương với
$ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} $ nhận vô số các giá trị hữu tỉ
Tôi nhớ tới 1 bài dùng pt pell mà bạn phúc đã nêu
từ đây ta chỉ cần cm y nhận vô số các giá trị hữu tỉ dựa trên ý tưởng của bài toán đó
Tức cm
Pt $ {k^2 + k + 1=a^2 $ có vô số nghiệm nguyên
với kết quả này ta cũng đủ cm đc bài toán trên

Éo. Vậy thì ai siêng tổng kết lại đi
mà bài này Phúc lấy ở đâu vậy

[phuc_007]

Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
Bây h ta chỉ cần chỉ ra y có vô số các giá trị hữu tỉ -->x,z cũng hữu tỉ
tương đương với
$ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} $ nhận vô số các giá trị hữu tỉ
Tôi nhớ tới 1 bài dùng pt pell mà bạn phúc đã nêu
từ đây ta chỉ cần cm y nhận vô số các giá trị hữu tỉ dựa trên ý tưởng của bài toán đó
Tức cm
Pt $ {k^2 + k + 1=a^2 $ có vô số nghiệm nguyên
với kết quả này ta cũng đủ cm đc bài toán trên

hướng này cũng là hướng khá hay . mình có cùng ý kiến với bạn nhưng mình nghĩ là có hướng khác hay hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuc_007: 27-12-2009 - 14:54

[- Nguyên Lê -]

Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.
Đặt $\dfrac{x}{y} = k <=> x=ky \$
$\(1) < = > k^2 y^2 + ky^2 + y^2 = 1 < = > y^2 = \dfrac{1}{{k^2 + k + 1}} < = > y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \$
Vậy pt có nghiệm:$ \left\{ \begin{array}{l} x = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ z = k\sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} + \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} \\ \end{array} \right. \$
Bây h ta chỉ cần chỉ ra y có vô số các giá trị hữu tỉ -->x,z cũng hữu tỉ
tương đương với
$ y = \sqrt {\dfrac{1}{{k^2 + k + 1}}} $ nhận vô số các giá trị hữu tỉ
Tôi nhớ tới 1 bài dùng pt pell mà bạn phúc đã nêu
từ đây ta chỉ cần cm y nhận vô số các giá trị hữu tỉ dựa trên ý tưởng của bài toán đó
Tức cm
Pt $ {k^2 + k + 1=a^2 $ có vô số nghiệm nguyên
với kết quả này ta cũng đủ cm đc bài toán trên

Nói sao đây nhỉ? Rõ ràng là phương trình này có hữu hạn nghiệm nguyên!
$\Leftrightarrow(2k+1)^2+3=(2a)^2\Leftrightarrow(2a-2k-1)(2a+2k+1)=3$

[Janienguyen]

Nói sao đây nhỉ? Rõ ràng là phương trình này có hữu hạn nghiệm nguyên!
$\Leftrightarrow(2k+1)^2+3=(2a)^2\Leftrightarrow(2a-2k-1)(2a+2k+1)=3$

Sr bạn,cái này thức chất k phải pell n sao nó khong cần là pt nghiệm nguyên đâu bạn ạ,vì nhầm với pell nên mình có sai sót đó
Mình đã check lại rồi!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Janienguyen: 30-12-2009 - 21:01

[phuc_007]

Nói sao đây nhỉ? Rõ ràng là phương trình này có hữu hạn nghiệm nguyên!
$\Leftrightarrow(2k+1)^2+3=(2a)^2\Leftrightarrow(2a-2k-1)(2a+2k+1)=3$

đặt 2k+1 = 3x ,2a=3y 3x^2 -3y^2=1

[maths_lovely]

Bài này quen quen, hướng là như này:
Các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Khi đó ta có:
$x^{4} + y^{4} + z^{4} = x^{4} + y^{4} + (x + y)^{4} = 2(x^{2} + y^{2} + xy)^{2}$
Tới đây thì cm tiếp pt $x^{2} + xy + y^{2} = 1$ có vô số nghiệm hữu tỹ thì bài toán được chứng minh.

Các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Minbh2 không hiểu chỗ đó

[Pirates]

Các nghiệm $(x, y, z)$ trong mặt phẳng $z = x + y$. Minbh2 không hiểu chỗ đó

À, đó là giới hạn miền nghiệm em à. Đây là phương pháp xây dựng nghiệm, là một trong những pp để giải pt Diophant. PP này dùng để giải những bài toán không yêu cầu tìm tất cả nghiệm của pt mà chỉ yêu cầu chứng minh pt vô số nghiệm. Vơi yêu cầu này, ta chỉ cần xây dựng một họ nghiệm là được, để xây dựng họ nghiệm thì có thể giả định hoặc giới hạn miền nghiệm mà các siêu phẳng là miền giới hạn thông dụng (như trên đó).

[phuc_007]

đặt 2k+1 = 3x ,2a=3y 3x^2 -3y^2=1

sorry mình nhầm lời giải này hình như sai rồi thì phải

[maths_lovely]

À, đó là giới hạn miền nghiệm em à. Đây là phương pháp xây dựng nghiệm, là một trong những pp để giải pt Diophant. PP này dùng để giải những bài toán không yêu cầu tìm tất cả nghiệm của pt mà chỉ yêu cầu chứng minh pt vô số nghiệm. Vơi yêu cầu này, ta chỉ cần xây dựng một họ nghiệm là được, để xây dựng họ nghiệm thì có thể giả định hoặc giới hạn miền nghiệm mà các siêu phẳng là miền giới hạn thông dụng (như trên đó).

Thanks anh nhưng em vẫn chả hiểu gì cả