Với bất kì số nguyên dương k nào ta kí hiệu f(k) là số các phần tử của tập hợp ( k+1 ,k+2.....2k) mà khi biểu diễn trong hệ nhị phân thi có đúng 3 số 1.
CMR với mọi m nguyên dương luôn tìm được ít nhất 1 số k nguyên dương sao cho f(k)=m.
Xác định tất cả m nguyên dương sao cho có đúng 1 số nguyên dương k thỏa mãn f(k)=m.
Bài hay và khó
Bắt đầu bởi Nguyễn Thái Vũ, 02-12-2009 - 20:06
#3
Đã gửi 06-12-2009 - 21:44
Pirates
-
- Thành viên
-
- 642 Bài viết
Mathematics...
Lại, tiêu đề các vip nữa, không nên như thế... Và em cũng đừng pót 1 bài ở nhiều box trên diễn đàn làm gì...k0 ai làm ah
Đặt $A$ là tập hợp con của tập $k + 1, k + 2, ..., 2k$, gọi $a(k)$ là số các phần tử của $A$.
Ta có: $f(k) = g(2k) - g(k)$
Ta cm hàm $f(k)$ không bị chặn trên, từ đó có miền giá trị của $f(k)$ là các số nguyên không âm. Vậy với mọi số nguyên $m$ thì $f(k) = m$ có ít nhất 1 nghiệm.
Giả sử $f(k) = m$ có duy nhất 1 nghiệm.
Ta có: $f(k + 1) - f(k) = f(k) - f(k - 1) = 1$
Biểu diễn trong hệ nhị phân thì số $k$ có đúng 2 chữ số 1 nếu chữ số cuối của $k - 1$ là 1, chữ số thứ 2 là 0.
Từ đây, suy ra: $k = 2^{n} + 2$ với $n \geq 2$
Ta có: $f(k) = g(2k) - g(k) \Rightarrow f(2^{n} + 2) = g(2^{n + 1} + 4) - g(2^{n} + 2) = 1 + g(2^{n + 1}) - g(2^{n}) = 1 + C_n^{2}$
"God made the integers, all else is the work of men"
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
