Chủ đề này có 7 trả lời

[maths_lovely]

Trong viếc Cm chia hết , có một số dạng khác nhau đòi hỏi các cách làm như đồng dư , phân tích thành nhân tử , quy nạp .....Mọi người cho em một sồ dạng để nhìn vào bik cách làm đi ạ . Thanks mí anh mí chị mí bạn

[maths_lovely]

A` . Còn cách làm các bài toán về sô nguyên tố thông thường nữa

[Pirates]

Trong những bài toán chứng minh chia hết, em có thể áp dụng các pp cơ bản sau, sẽ dễ dàng hơn rất nhiều:

- Dùng tính chất: trong $n (n \geq 1)$ số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho $n$

- Dùng các công thức khai triển:
$a^{n} - b^{n} \vdots a - b (a \neq b) \forall n \in N$
$a^{n} + b^{n} \vdots a + b$ nếu $n$ lẻ.
$a^{n} - b^{n} \vdots a + b$ nếu $n$ chẵn $(a \neq -b)$
$(a + b)^{n} \equiv b^{n} (mod a)$

- Áp dụng nguyên lí Dirichlet

- Dùng qui nạp:
Ta cần cm $A(n) \vdots p$ (1) với $n = 1, 2...$
a) Ta cm (1) đúng với $n = 1$. nghĩa là $A(1) \vdots p$
b) Giả sử (1) đúng với $n = k$, nghĩa là $A(k) \vdots p$
c) Ta cm (1) đúng với $n = k + 1$, nghĩa là cm $A(k + 1) \vdots p$

- Dùng định lý Fermat: Với $p$ là số nguyên tố: ta có: $a^{p} \equiv a (mod p)$
Nếu $(a, p) = 1$ thì $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

- Dùng tính chất:
$a_i \equiv m_i (mod m) i = 1 , 2 , ... , n$
$\Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} a_i \equiv \sum\limits_{i=1}^{n} m_i (mod m)$

Để khi nào anh post thêm các bài tập ví dụ để luyện.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 02-01-2010 - 12:52

[maths_lovely]

Thanks anh nhìu . À . Mà cái cuối dấu tổng đó , em hok hỉu dấu đó nghĩa là j`
Anh ui ! Em muốn hỏi là trong những dạng toán tương ứng với các pp để vận dụng cho thik hợp í

[Pirates]

Anh ui ! Em muốn hỏi là trong những dạng toán tương ứng với các pp để vận dụng cho thik hợp í

Cái này em phải tự nghĩ ra trong quá trình làm bài, thế mới nhớ lâu và hiểu kĩ được...

- Dùng tính chất: trong $n (n \geq 1)$ số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho $n$

Ví dụ: Cmr tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9
Ta có: $(n - 1)^{3} + n^{3} + (n + 1)^{3} = 3(n^{3} + 2n)$
$= 3(n^{3} - n + 3n) = 3(n - 1)n(n + 1) + 9n \vdots 9$

Luyện tập: Cm với mọi $n$ nguyên
a) $3n^{4} - 4n^{3} + 21n^{2} - 10n \vdots 24$
b) $n^{5} - 5n^{3} + 4n \vdots 120$

- Dùng các công thức khai triển:
$a^{n} - b^{n} \vdots a - b (a \neq b) \forall n \in N$
$a^{n} + b^{n} \vdots a + b$ nếu $n$ lẻ.
$a^{n} - b^{n} \vdots a + b$ nếu $n$ chẵn $(a \neq -b)$
$(a + b)^{n} \equiv b^{n} (mod a)$

Ví dụ: Cm với $n$ là số tự nhiên: $5^{n + 2} + 26.5^{n} + 8^{2n + 1} \vdots 59$
$5^{n + 2} + 26.5^{n} + 8^{2n + 1} = 5^{n}(25 + 26) + 8.64^{n}$
$= 5^{n}(59 - 8) + 8.64^{n}$
$= 59.5^{n} + 8(64^{n} - 5^{n}) \vdots 59$

Luyện tập: Cmr
a) $16^{n} - 15^{n} - 1 \vdots 225$
b) $10^{6n - 4} + 10^{6n - 5} + 1 \vdots 111$

[Pirates]

- Áp dụng nguyên lí Dirichlet

Ví dụ: Cmr trong $n + 1$ số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho $n$
Lấy $n + 1$ số nguyên đã cho chia $n$ thì được $n + 1$ số dư nhận một trong các số $0 , 1 , ... , n - 1$ nên phải có hai số dư bằng nhau, khi đó có hai số có hiệu chia hết cho $n$

Luyện tập:
a) Cm trong $m$ số nguyên bất kỳ, bao giờ cũng có một số chia hết cho $m$ hoặc tổng của một số chia hết cho $m$
b) Cmr có thể tìm được một số có dạng $19911991...19910...0$ và chia hết cho $1992$

- Dùng định lý Fermat: Với $p$ là số nguyên tố: ta có: $a^{p} \equiv a (mod p)$
Nếu $(a, p) = 1$ thì $a^{p - 1} \equiv 1 (mod p)$

Ví dụ: Cmr $1^{1991} + 2^{1991} + ... + 1991^{1991} \vdots 11$
Theo đl Fermat $a^{11} \equiv a$ (mod 11) $\Rightarrow a^{1991} \equiv a$ (mod 11)
Vậy: $1^{1991} + 2^{1991} + ... + 1991^{1991} \equiv 1 + 2 + ... + 1991 = 1991.996 \equiv 0$ (mod 11)

Luyện tập:
a) Cho $p > 7$ là số nguyên tố. Cmr: $3^{p} - 2^{p} - 1 \vdots 42p$
b) Cmr nếu $(a , 240) = 1$ thì $a^{4} - 1 \vdots 240$

[maths_lovely]

Thanks anh . Mây cái nay trong sách 351 bài toán số học của ông Tấn có hết rồi
Số nguyên tô có những dạng nào hả anh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maths_lovely: 03-01-2010 - 08:58

[maths_lovely]

Vậy: $1^{1991} + 2^{1991} + ... + 1991^{1991} \equiv 1 + 2 + ... + 1991 = 1991.996 \equiv 0$ (mod 11)

Là sao anh