Chủ đề này có 1 trả lời

[math93]

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.
Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+2abc \geq 5$

[leviethai1994]

Cho $a,b,c \geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.
Chứng minh rằng: $a^2+b^2+c^2+2abc \geq 5$

Bắt nguồn từ BĐT quen thuộc sau


${a^2} + {b^2} + {c^2} + 2abc + 1 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right) $

Tồn tại 2 giá trị trong 3 giá trị cùng dấu, $a - 1,b - 1,c - 1$

Khi đó

$2c\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow 2abc + 2c \ge 2ac + 2bc$

Vậy ta chỉ cần chứng minh

${a^2} + {b^2} + {c^2} + 1 \ge 2c + 2ab$

$\Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2}\ge 0$ (hiển nhiên đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi leviethai1994: 08-01-2010 - 20:01