Chủ đề này có 2 trả lời

[katu131]

Tìm hai số nguyên dương a và b sao cho: ($a^{2}$-2)/(ab+2) là một số nguyên.(dấu /là phép chia)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi katu131: 14-01-2010 - 19:50

[Pirates]

Tìm hai số nguyên dương $a, b$ sao cho: $\dfrac{a^{2} - 2}{ab + 2}$ là một số nguyên.

Dễ thấy $a \geq 2$.

$\dfrac{a^{2} - 2}{ab + 2}$
$\Rightarrow (a^{2} - 2) \vdots (ab + 2) \Rightarrow b(a^{2} - 2) \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow [a(ab + 2) - 2(a + b)] \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow 2(a + b) \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow 2(a + b) = n(ab + 2)$ với $n \in N^{*}$

Nếu $n = 1$, ta có: $2(a + b) = ab + 2 \Leftrightarrow (a - 2)(b - 2) = 2$
$\Leftrightarrow a = 4 , b = 3$

Nếu $n \geq 2$, ta có: $2(a + b) = n(ab + 2) \geq 2(ab + 2)$
$\Rightarrow a + b \geq ab + 2 \Rightarrow (a - 1)(b - 1) + 1 \leq 0$ (vô lý)

Vậy chỉ có $(a, b)$ là $(4, 3)$ thì thỏa.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pirates: 15-01-2010 - 17:05

[maths_lovely]

Dễ thấy $a \geq 2$.

$\dfrac{a^{2} - 2}{ab + 2}$
$\Rightarrow (a^{2} - 2) \vdots (ab + 2) \Rightarrow b(a^{2} - 2) \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow [a(ab + 2) - 2(a + b)] \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow 2(a + b) \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow 2(a + b) = n(ab + 2)$ với $n \in N^{*}$

Nếu $n = 1$, ta có: $2(a + b) = ab + 2 \Leftrightarrow (a - 2)(b - 2) = 2$
$\Leftrightarrow a = 4 , b = 3$

Nếu $n \geq 2$, ta có: $2(a + b) = n(ab + 2) \geq 2(ab + 2)$
$\Rightarrow a + b \geq ab + 2 \Rightarrow (a - 1)(b - 1) + 1 \leq 0$ (vô lý)

Vậy chỉ có $(a, b)$ là $(4, 3)$ thì thỏa.

$\Rightarrow (a^{2} - 2) \vdots (ab + 2) \Rightarrow b(a^{2} - 2) \vdots (ab + 2)$
$\Rightarrow [a(ab + 2) - 2(a + b)] \vdots (ab + 2)$
sao anh dựa vào đâu mà biến đổi dc