Chủ đề này có 8 trả lời

[abstract]

Cho $a,b,c \geq 0; a+b+c=2$. CMR
$ \sum \dfrac{ab}{c^{2}+1} \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 12-02-2010 - 11:35

[Đỗ Quang Duy]

Bài này do sư huynh Phạm Kim Hùng sáng tác đây mà Hình như có 3 cách hoặc nhiều hơn

[abstract]

Bài này do sư huynh Phạm Kim Hùng sáng tác đây mà Hình như có 3 cách hoặc nhiều hơn

Bạn giải thử đi! Mình mới tìm đựơc 1 cách dùng p,q,r thôi

[Đỗ Quang Duy]

Óe ! Em thì vẫn chưa đủ công lực để bắn tỉa mấy bài như thế này đâu anh ạ. Tại em đọc sách đấy Đây là một cách giải em tóm tắt từ sách :
Ta cần chứng minh BDT
$\dfrac{bc}{a^2+1} \leq \dfrac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$(b+1)(1+a^2) \geq bc(b+c)+a(b^2+c^2)+a^2(b+c)$
$\Leftrightarrow (b+c)(1+a^2) \geq bc(b+c)+[a(b+c)^2-2abc]+a^2(b+c)$
$\Leftrightarrow (b+c)(1+a^2) -a(b+c)^2-a^2(b+c)\geq bc(b+c)-2abc$
$\Leftrightarrow (b+c)(1-ab-ac) \geq bc(b+c-2a)$
Nếu $b+c \leq 2a$ thì bất đẳng thức này dĩ nhiên đúng
Nếu $b+c \geq 2a$ thì lấy VT trừ VP rồi áp dụng AM - Gm ta sẽ chứng minh được BDt này
Làm tương tự rồi cộng theo vế, chú ý $ \sum\dfrac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}=1$...

[abstract]

Óe ! Em thì vẫn chưa đủ công lực để bắn tỉa mấy bài như thế này đâu anh ạ. Tại em đọc sách đấy Đây là một cách giải em tóm tắt từ sách :
Ta cần chứng minh BDT
$\dfrac{bc}{a^2+1} \leq \dfrac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}$
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$(b+1)(1+a^2) \geq bc(b+c)+a(b^2+c^2)+a^2(b+c)$
$\Leftrightarrow (b+c)(1+a^2) \geq bc(b+c)+[a(b+c)^2-2abc]+a^2(b+c)$
$\Leftrightarrow (b+c)(1+a^2) -a(b+c)^2-a^2(b+c)\geq bc(b+c)-2abc$
$\Leftrightarrow (b+c)(1-ab-ac) \geq bc(b+c-2a)$
Nếu $b+c \leq 2a$ thì bất đẳng thức này dĩ nhiên đúng
Nếu $b+c \geq 2a$ thì lấy VT trừ VP rồi áp dụng AM - Gm ta sẽ chứng minh được BDt này
Làm tương tự rồi cộng theo vế, chú ý $ \sum\dfrac{bc(b+c)}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)}=1$...

Sách nào vậy em?

[Messi_ndt]

Cho $a,b,c \geq 0; a+b+c=2$. CMR
$ \sum \dfrac{ab}{c^{2}+1} \leq 1$

Lời giải của mình thế này:
Ta sẽ chứng minh VT 12/13 nên tất nhiên bất đẳng thức đúng và dấu = không xãy ra.
$4VT=\sum \dfrac{4ab}{c^{2}+1}\leq \sum \dfrac{(a+b)^{2}}{c^{2}+1} =\sum \dfrac{(2-c)^{2}}{c^{2}+1}$
đến đây ta dùng U.C,T thì rẩ đơn giãn:$ \dfrac{c^{2}-4c+4}{c^{2}+1} \leq \dfrac{16}{13}$
Mình thấy lời giải này khá hay

[abstract]

Lời giải của mình thế này:
Ta sẽ chứng minh VT 12/13 nên tất nhiên bất đẳng thức đúng và dấu = không xãy ra.
$4VT=\sum \dfrac{4ab}{c^{2}+1}\leq \sum \dfrac{(a+b)^{2}}{c^{2}+1} =\sum \dfrac{(2-c)^{2}}{c^{2}+1}$
đến đây ta dùng U.C,T thì rẩ đơn giãn:$ \dfrac{c^{2}-4c+4}{c^{2}+1} \leq \dfrac{16}{13}$
Mình thấy lời giải này khá hay

Mình chưa check nhưng hình như bạn giải sai. Mình này mấy thằng bạn đưa cho mình dưới dạng tìm max. Max là 2 dấu = khi $(a,b,c) \equiv (0,1,1)$
Mà BDT $ \sum \dfrac{ab}{c^2+1} \leq \dfrac{12}{13}$ sai. Try a=0;b=0,95;c=1,05. Do đó tất cả các đánh giá trên đều ko chính xác

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 10-02-2010 - 07:18

[Đỗ Quang Duy]

Anh mua quyển "Bất đẳng thức và những lời giải hay" của anh Võ Quốc Bá Cẩn và Trần Quốc Anh viết ấy Quyển này có lối dẫn dắt không hay bằng quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" của anh Phạm Kim Hùng, nhưng bù lại, lời giải của nó lại rất đơn giản và độc đáo... Đấy là em giới thiệu nhé !

[abstract]

Anh mua quyển "Bất đẳng thức và những lời giải hay" của anh Võ Quốc Bá Cẩn và Trần Quốc Anh viết ấy Quyển này có lối dẫn dắt không hay bằng quyển "Sáng tạo bất đẳng thức" của anh Phạm Kim Hùng, nhưng bù lại, lời giải của nó lại rất đơn giản và độc đáo... Đấy là em giới thiệu nhé !

Đây là lời giải của anh:
Do tính đối xứng ,chú ý p=2,chuyển BDT về tương đương: $3q^{2}+r^{2}+6qr+5 \geq q^{3}+7q $
TH1 $0\leq q\leq 1 \Rightarrow 3q^{2}+5 \leq q^{3}+7q \Rightarrow Q.E.D$
TH2 $1 < q \leq \dfrac{4}{3}$ THeo BDT Schur: $p^{3}-4pq+9r \geq 0 \Rightarrow r \geq \dfrac{8}{9}(q-1)$ Thay vào ta cũng suy ra Q.E.D
Đẳng thức đạt tại biên