Chủ đề này có 2 trả lời

[Đỗ Quang Duy]

Cho $n \in N$; $n \geq 2$ và $a_1,a_2,a_3,...,a_n \in [0;1]$
Gọi $S=a_1+a_2+a_3+...+a_n$
Chứng minh rằng
$\sum\dfrac{a_1}{S-a_1+1}+\sum(1-a_1) \leq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Đỗ Quang Duy: 24-02-2010 - 16:47

[nguyen thai phuc]

.

Spam à????

[*LinKinPark*]

Không mất tổng quát giả sử $1 \ge {a_n} \ge ... \ge {a_1} > 0$. Ta có:
$LHS \le \dfrac{{\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} }}{{S - {a_n} + 1}} + \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - {a_i}} \right)} = \dfrac{S}{{S - {a_n} + 1}} + \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - {a_i}} \right)} $
Cần CM: $\dfrac{S}{{S - {a_n} + 1}} + \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {1 - {a_i}} \right)} \le 1$
Quy đồng đơn giản, BDT tương đương với: $\left[ {\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {1 - {a_i}} \right)} } \right]\left( {S - {a_n} + 1} \right) \le 1$
Sử dụng $AM-GM$: $\left[ {\prod\limits_{i = 1}^{n - 1} {\left( {1 - {a_i}} \right)} } \right]\left( {S - {a_n} + 1} \right) \le {\left( {\dfrac{{n - \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{a_i}} + \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} {{a_i}} }}{n}} \right)^n} = 1$ $Q.E.D$