Chủ đề này có 2 trả lời

[cold_desert12]

Cho x,y,z >0, và x+y+z=4, tìm Min và Max của biểu thức:
$ P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

[Ho pham thieu]

max thì dùng CBS.
min ... xem lại đã.
Bài này trên THTT rùi. Cách đây 2 năm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ho pham thieu: 07-03-2010 - 20:00

[vuthanhtu_hd]

Cho x,y,z >0, và x+y+z=4, tìm Min và Max của biểu thức:
$ P=\sqrt{2x+1}+\sqrt{3y+1}+\sqrt{4z+1}$

+GTLN:

Theo Cauchy-Schwarz

$P^2 \le (2+3+4)[(x+\dfrac{1}{2})+(y+\dfrac{1}{3})+(z+\dfrac{1}{2})] =\dfrac{183}{4}$

nên $P \le \dfrac{\sqrt{183}}{2}$
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow x=\dfrac{17}{27},y=\dfrac{49}{36},z=\dfrac{217}{108}$
+GTNN:
Đặt $a=\sqrt{2x+1},b=\sqrt{3y+1},c=\sqrt{4z+1}$

$P^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$


Chú ý là $a^2+b^2+c^2=3+(y+2z)+2(x+y+z) \ge 3+0+8=11$

$a,b,c \ge 1$ nên $\sum_{cyc} (a-1)(b-1) \ge 0 \leftrightarrow ab+bc+ca \ge 2(a+b+c)-3$

Suy ra $P^2 \ge 11+2(2P-3) \rightarrow P \ge 5$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow x=4,y=z=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vuthanhtu_hd: 07-03-2010 - 19:51