Chủ đề này có 1 trả lời

[vo thanh van]

Cho $p\in R^+$ và $k\in R^+$.Đa thức $F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm.
Chứng minh rằng $F(p)\ge (p+k)^4$

[ILRB114]

Cho $p\in R^+$ và $k\in R^+$.Đa thức $F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm.
Chứng minh rằng $F(p)\ge (p+k)^4$

Do đa thức có 4 nghiệm thực đều âm nên có thể viết là: $F(x)=(x+x_1)(x+x_2)(x+x_3)(x+x_4)$, với $x_i \in R^+, i=1;2;3;4$.

Mặc khác theo định lí Viete, ta có: $x_1.x_2.x_3.x_4=k^4$.

Áp dụng BĐT Holder cho bộ 4 số dương, ta có: $F(p)=(p+x_1)(p+x_2)(p+x_3)(p+x_4)\ge (p+\sqrt{x_1.x_2.x_3.x_4})^4=(p+k)^4$ (đpcm)