Chủ đề này có 5 trả lời

[Pham Le Minh]

cho a,b,c>0 va a+b+c=1.Chung minh rang:
a/(a+1)+b/(b+1)+c/(c+1) 3/4


GIAI BANG 3 CACH NHA????...

[h.vuong_pdl]

Cách 1) biến đổi tương đương rồi áp dụng BDt Cauchy-Schwarz ta có :
$BDT <=> \dfrac{1}{a+1} + \dfrac{1}{b+1} + \dfrac{1}{c+a} \ge \dfrac{9}{a+b+c+3} = \dfrac{9}{4}$
Vậy ta có ngay đpcm ???

[h.vuong_pdl]

theo mình cách 20 có thể giải như thế này:
áp dụng BDT $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1]{y} \ge \dfrac{4]{x+y}$, ta có:
$\dfrac{4a}{a+1} = \dfrac{4a}{(a+b) + (a+c)} \le \dfrac{a}{a+b} + \dfrac{a]{a+c}$
làm các BDT tương tự ta có rồi công laịu ta có ngay đpcm ???

[h.vuong_pdl]

theo mình cách 20 có thể giải như thế này:
áp dụng BDT $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \ge \dfrac{4}{x+y}$, ta có:
$\dfrac{4a}{a+1} = \dfrac{4a}{(a+b) + (a+c)} \le \dfrac{a}{a+b} + \dfrac{a}{a+c}$
làm các BDT tương tự ta có rồi công lại ta có ngay đpcm ???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 06-09-2010 - 18:36

[h.vuong_pdl]

Không biết cách 3 của bạn như thế nào nhỉ??? mình trình bày cách 3 như thế này:
$3a+3 = 3a + 1+1+1 \ge 4\sqrt[4]{3a}$
Như vậy ta cần Cm: $\sqrt[4]{27a^3} + \sqrt[4]{27b^3} + \sqrt[4]{27c^3} \le 3$
đặt $3a = x^4,...$ ta có: $x^4 + y^4+z^4 =3$ và cần CM: $x^3+y^3+z^3 \le 3$
đây là một bài toán quen thuộc rồi => chỉ cần dùng Cô-si.
ta có: $3a^4 + 1 = a^4+a^4+a^4+1 \ge 4a^3$
làm các BDT tương tự rồi cộng lại ta có ngay đpcm ???

p/s: trên đây là 3 cách sơ cấp của mình, nếu dùng dồn biến chắc là 4 cách

[Peter Pan]

nếu tính cả dồn biến thì đây là cách 5
ta có
$\dfrac{a}{a+1} \leq \dfrac{1}{4}+\dfrac{3(3a-1)}{4}$
$ \Leftrightarrow (3a-1)^2\geq 0$
tương tự rồi cộng lại ta có đpcm với chú ý a+b+c=1