Chủ đề này có 4 trả lời

[Messi_ndt]

1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \geq \dfrac{3}{4} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Messi_ndt: 23-12-2010 - 20:39

[NightBaron]

1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \leq \dfrac{3}{4} $

B1: theo AG-GM, de thay:

$\sum\sqrt{x^2-xy+y^2}\ge \sum\dfrac{x+y}{2}=x+y+z$

$\Rightarrow$ de ra co van de!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 08-09-2010 - 19:21

[NightBaron]

1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \leq \dfrac{3}{4} $

Ta cm BDT sau dung:

$x+y+z\ge \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

$\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)\ge 0$ (true)

$\Rightarrow$ bạn đã gõ latex sai!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 08-09-2010 - 19:31

[abstract]

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \leq \dfrac{3}{4} $[/i]

Bài 1 ngược dấu cả 2 BDT. cm dễ dàng
Bài 3 ngược dấu

[NightBaron]

1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$

2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \leq \dfrac{3}{4} $

Problem 2:

Xin nêu ko cm bổ đề nổi tiếng sau:

Lemma (Pham Kim Hung- Vasile Cricoatje): Cho $x,y,z\ge 0: x+y+z=3$. CMR:

$4\ge xyz+x^2y+y^2z+z^2x$

Quay tro lai bai toan:

$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $

$\Leftrightarrow 4+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+abc(ab^2+bc^2+ca^2)+(abc)^3$ (1)

Ap dung bo de voi $(x;y;z)=(a;b;c)$, ta co:

$4+3abc\ge 4abc+a^2b+b^2c+c^2a$

Vay ta can cm:

$4abc+a^2b+b^2c+c^2a\ge a^2b+b^2c+c^2a+abc(ab^2+bc^2+ca^2)+(abc)^3$

$\Leftrightarrow 4\ge ab^2+bc^2+ca^2+(abc)^2$

Mat khac, theo bo voi $(x;y;z)=(b;a;c)$ thi:

$4\ge ab^2+bc^2+ca^2+abc$

Vay ta se cm:

$ab^2+bc^2+ca^2+abc\ge ab^2+bc^2+ca^2+(abc)^2$

$\Leftrightarrow 1\ge abc$ (True)

Vay (1) dung! $\Rightarrow Q.E.D$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 14-09-2010 - 17:12