1.Cho x,y,z là các số thực không âm. Chứng minh.
$\sum \sqrt{x^2-xy+y^2} \leq x+y+z \leq \sqrt{x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx}$
2.Cho a,b,c không âm và a+b+c=3.Chứng minh.
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $
3.Cho a,b,c không âm và abc=1. Chứng minh.
$ \dfrac{1}{a^3+2a^2+1}+\dfrac{1}{b^3+2b^2+1}+\dfrac{1}{c^3+2c^2+1} \leq \dfrac{3}{4} $
Problem 2:
Xin nêu ko cm bổ đề nổi tiếng sau:
Lemma (Pham Kim Hung- Vasile Cricoatje): Cho $x,y,z\ge 0: x+y+z=3$. CMR:
$4\ge xyz+x^2y+y^2z+z^2x$
Quay tro lai bai toan:
$ (1+a^2b)(1+b^2c)(1+c^2a) \leq 5+3abc $
$\Leftrightarrow 4+3abc\ge a^2b+b^2c+c^2a+abc(ab^2+bc^2+ca^2)+(abc)^3$ (1)
Ap dung bo de voi $(x;y;z)=(a;b;c)$, ta co:
$4+3abc\ge 4abc+a^2b+b^2c+c^2a$
Vay ta can cm:
$4abc+a^2b+b^2c+c^2a\ge a^2b+b^2c+c^2a+abc(ab^2+bc^2+ca^2)+(abc)^3$
$\Leftrightarrow 4\ge ab^2+bc^2+ca^2+(abc)^2$
Mat khac, theo bo voi $(x;y;z)=(b;a;c)$ thi:
$4\ge ab^2+bc^2+ca^2+abc$
Vay ta se cm:
$ab^2+bc^2+ca^2+abc\ge ab^2+bc^2+ca^2+(abc)^2$
$\Leftrightarrow 1\ge abc$
(True)Vay (1) dung! $\Rightarrow Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 14-09-2010 - 17:12