Chủ đề này có 3 trả lời

[CD13]

Trong bài toán của sách thầy Nam Dũng có đoạn:

Đề: Cho dãy ${a_n}$ xác định: $a_0=0;a_1=1;a_2=2;a_3=6.....\\ a_{n+4}=2a_{n+3}+a_{n+2}-2a_{n+1}-a_n, n \geq 0$ Chứng minh: $a_n$ chia hết cho n

Bài giải: Từ phương trình đặc trưng của dãy $a_n$ là: $x_4-2x_3-x_2+2x+1=0\\ <=> (x^2-x-1)^2=0$. Từ đó số hạng tổng quát $a_n$ có dạng: $a_n=c_1 \alpha^n+c_2 \beta^n+n(c_3 \alpha^n+c_4 \beta^n)$
Cho mình hỏi phương trình đặc trưng là gì và vì sao dựa vào pt đặc trung ta có được dạng của $a_n$?

Thân

[novae]

cái này thì nên mua quyển chuyên đề chọn lọc dãy số và áp dụng, trong đó viết khá đầy đủ và chi tiết về vấn đề này

[maimaimottinhyeu]

Bạn nền tìm mua mấy quyền về dãy số bồi dưỡng HSG ý như của thầy Mậu, Nam Dũng .......

[hoangnbk]

từ $(x^2-x-1)^2=0$, ta tách đc:
$(a_{n+4}-a_{n+3}-a_{n+2})-(a_{n+3}-a_{n+2}-a_{n+1})-(a_{n+2}-a_{n+1}-a_n)=0$
Đặt $ b_n=a_{n+2}-a_{n+1}-a_n$, ta đc:
$ b_{n+2}-b_{n+1}-b_n=0; b_0=1, b_1=3$
đến đây lại xét pt $x^2-x-1=0$ có nghiệm $x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
Đặt $ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}= \alpha; \beta =\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$.
lại tách $ (b_{n+2}-\alpha.b_{n+1})- (\beta.b_{n+1}+b_n)=0$
$ \Leftrightarrow b_{n+2}-\alpha.b_{n+1}= \beta(b_{n+1}-\alpha.b_n) =... = \beta^{n+1}.(b_1-\alpha.b_0)$
và $ b_{n+2}-\beta.b_{n+1}= \alpha(b_{n+1}-\beta.b_n) =... = \alpha^{n+1}.(b_1-\beta.b_0)$
đến đây đc hệ 2 pt 2 ẩn. Giải ra đc $ b_n= \dfrac{(\sqrt{5}+1)^{n+1}+(1-\sqrt{5})^{n+1}}{2^{n+1}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangnbk: 24-09-2010 - 20:06