Chủ đề này có 15 trả lời

[NightBaron]

Cho $a,b,c>0: a+b+c=3$, CMR:

$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2)\le 3[\dfrac{a+b+c}{abc}]^2$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NightBaron: 16-10-2010 - 13:07

[tuan101293]

Định xài $(\sum xy)(\sum_{cyc} x^2y)\le 9$ mà ko ra
Chú post lời giải lên đi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 18-10-2010 - 21:03

[NightBaron]

Định xài $(\sum xy)(\sum_{cyc} x^2y)\le 9$ mà ko ra
Chú post lời giải lên đi.

e vẫn dành thời gian cho VMF trước mà. E chưa post bên ML đâu! Nếu đưa ngay lời giải thì không hay lắm.

[h.vuong_pdl]

bài này mình cũng chưa nghĩ kĩ nhưng nhìn là thấy nản rồi,
ban đầu nhìn thấy ngay cái quen thuộc: $abc(a^2+b^2+c^2) \le 3$
định chém luôn mà lại nhìn thấy $a^3b^2+... \to - potay!$

p/s: cho mình hỏi cái này có dùng BDT mạnh như ABC, hay dồn biến + ... gì không ???
hay chỉ AM-GM + Cauchy-Schwarz là được ?????

[NightBaron]

Lời giải chỉ có 2 dòng thui.

[Messi_ndt]

Cho $a,b,c>0: a+b+c=3$, CMR:

$(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)(a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2)\le 3[\dfrac{a+b+c}{abc}]^2$.

Bai toan của cậu giải dc bằng các bổ đề.
$a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3$ Ta có: $ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2 \le a^2+b^2+c^2$
AM-GM: $ (ab+bc+ca)^2(a^2+b^2+c^2)\leq \dfrac{(a+b+c)^6}{27}$
SOS CM:$ a+b+c \geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2}$
Tiwf DK a+b+c=3 đồng bậc Pt dc Sa,Sb,Sc đều không âm.
Phép chứngminh xong.

[NightBaron]

Bai toan của cậu giải dc bằng các bổ đề.
$a,b,c>0,a^2+b^2+c^2=3$

Cau xem lai di $a+b+c=3$.

[Messi_ndt]

Cau xem lai di $a+b+c=3$.

$ a,b,c>0.$ Ta có$ a^3b^2+b^3c^2+c^3a^2\leq k(a^2+b^2+c^2)^{5/2}$

[tuan101293]

Đặt $a=\dfrac{1}{x}$,....
thì
$\sum_{cyc}a^3b^2=\sum_{cyc}\dfrac{1}{x^3y^2}=\dfrac{\sum_{cyc}yz^3}{x^3y^3z^3}\le \dfrac{(\sum a^2)}{3abc}$ (bdt vasc)
nên ta sẽ CM
$(\sum a^2)(\sum ab)abc(\sum a^2b^2)^2\le 81$
đến đây hy vọng là ra

[NightBaron]

Đặt $a=\dfrac{1}{x}$,....
thì
$\sum_{cyc}a^3b^2=\sum_{cyc}\dfrac{1}{x^3y^2}=\dfrac{\sum_{cyc}yz^3}{x^3y^3z^3}\le \dfrac{(\sum a^2)}{3abc}$ (bdt vasc)
nên ta sẽ CM
$(\sum a^2)(\sum ab)abc(\sum a^2b^2)^2\le 81$
đến đây hy vọng là ra

giai tiep xem có ra ko ạ?

[nguyen thai phuc]

Định xài $(\sum xy)(\sum_{cyc} x^2y)\le 9$ mà ko ra
Chú post lời giải lên đi.

Em không chứng minh được cái này :">. Anh tuan101293 c/m cái này hộ em với :">

[abstract]

Em không chứng minh được cái này :">. Anh tuan101293 c/m cái này hộ em với :">

Sử dụng BDT Vasile Critoaje và đẳng thức $\sum a \sum a^2b =\sum a^3b+(\sum ab)^2-3abc$$
Trong "Tìm tòi và sáng tạo" bản thảo 2009 cũng có đấy em!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi abstract: 24-10-2010 - 22:58

[nguyen thai phuc]

Sử dụng BDT Vasile Critoaje và đẳng thức $\sum a \sum a^2b =\sum a^3b+(\sum ab)^2-3abc$$
Trong "Tìm tòi và sáng tạo" bản thảo 2009 cũng có đấy em!!

Cụ thể đi anh ơi (. Nếu c/m được cái này là em c/m dc bài toán luôn

[NightBaron]

Cụ thể đi anh ơi (. Nếu c/m được cái này là em c/m dc bài toán luôn

Yên tam là có người giải dsk roài. Chắc em dùng AG-GM hả?

[nguyen thai phuc]

Yên tam là có người giải dsk roài. Chắc em dùng AG-GM hả?

Vâng, em làm thế này:
$\begin{array}{l} abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).abc\left( {ab + bc + ca} \right).\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) \\ \le {\left( {\dfrac{{abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + abc\left( {ab + bc + ca} \right) + {a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}}}{3}} \right)^3} \\ = {\left( {\dfrac{{\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)}}{3}} \right)^3} \\ \end{array}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyen thai phuc: 25-10-2010 - 21:11

[NightBaron]

Vâng, em làm thế này:
$\begin{array}{l} abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right).abc\left( {ab + bc + ca} \right).\left( {{a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}} \right) \\ \le {\left( {\dfrac{{abc\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + abc\left( {ab + bc + ca} \right) + {a^3}{b^2} + {b^3}{c^2} + {c^3}{a^2}}}{3}} \right)^3} \\ = {\left( {\dfrac{{\left( {ab + bc + ca} \right)\left( {{a^2}b + {b^2}c + {c^2}a} \right)}}{3}} \right)^3} \\ \end{array}$

uk. dung rui do.