Chủ đề này có 7 trả lời

[haiyen96]

Cho x+y+z>=12,x,y,z dương
tìm min của:
x/ :sqrt{y}+y/ :sqrt{z}+z/ :sqrt{x}
P/s Sory nha, chỉnh lại đề bài giúp mình

[-Lucifer-]

Cho x+y+z 12.
x,y,z dương
tìm min của:
$ \dfrac{x}{ \sqrt{y} } + \dfrac{y}{ \sqrt{z} } + \dfrac{z}{ \sqrt{x} }$

Có phải đề như thế này không bạn?


Nếu mà đề là như thế này thì chắc là áp dụng Cô-si cho 3 số dương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi -Lucifer-: 26-10-2010 - 12:59

[haiyen96]

Uhm đề đúng rùi đó
nhưng mình qps dụng Cô-si với 3 số dương rùi nhưng hok đc
Làm giúp mình đi
CHiều nay mình đi học rùi

[haiyen96]

Làm giúp mình, mình sẽ thank nhiệt tình mừ
Chiều nay đi học rùi

[quanganhct]

Đặt A=$\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}}$
$A^2=\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+...$ (... là tự khai triển nhé ! Gõ Latex mệt thật)
Áp dụng Cauchy cho :
$\dfrac{x^2}{y} + \dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}} + \dfrac{x\sqrt{y}}{\sqrt{z}} \geq 3x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}$
Làm tương tự cho 2 nhóm còn lại.
Vậy $A^2 \geq 3x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+...$ (... lại tự tìm tiếp nhá)
Rồi , lại áp dụng cauchy :
$x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+x\sqrt[3]{\dfrac{x}{z}}+z \geq 4x$
Làm tương tự cho 2 nhóm còn lại

$ \Rightarrow A^2+x+y+z \geq 4(x+y+z) \Rightarrow A^2 \geq 3(x+y+z) \geq 3.12 \Rightarrow A \geq 6$ Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=4

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanganhct: 26-10-2010 - 17:41

[h.vuong_pdl]

đặt $\sqrt{x} = a, \sqrt{y} = b, \sqrt{z} = c$
ta có: $a^2+b^2+c^2 = 12$, Ta sẽ Cm:
$\dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} + \dfrac{c^2}{a} \ge 6$
$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b} + b -2a + \dfrac{b^2}{c}+c-2b + \dfrac{c^2}{a} + a-2c \ge 6 - (a+b+c)$
$\Leftrightarrow \sum{\dfrac{(a-b)^2}{b}} \ge \sum{\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)^2}{6+(a+b+c)}$
$\Leftrightarrow \sum{\dfrac{(a-b)^2}{b}} \ge \sum{\dfrac{\sum{(a-b)^2}}{2(6+a+b+c)}$
chú ý ta có: $2(6+a+b+c) > b \to \dfrac{1}{b} > \dfrac{1}{2(6+a+b+c)}$
do đó ta dễ thấy dpcm!

[haiyen96]

Còn 1 cách nữa, em góp vào cho vui vậy
Bình phương a lên rời áp dụng Cô-si với 4 số là ok.
Nói chung là gần giông của anh quanganhct nhưng ngắn hơn chút xíu là ở mỗi vế của bất dẳng thức thứ nhất thêm hạng tử x,y,z để triệt tiêu lun x,y,z trong căn
Cuối cùng thì cũng đcj điều như các anh làm

[NguyThang khtn]

hay fet nhi?