Chủ đề này có 22 trả lời

[teo le]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi teo le: 16-11-2010 - 22:45

[NguyThang khtn]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2(\dfrac{a++4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

f)ban coi lai de di!
g)BDt can chung minh tuong duong voi:
$ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} - a+b+c \geq 0 \Leftrightarrow (a^2 - \dfrac{1}{2}.2.a + \dfrac{1}{4}) + (b^2 - \dfrac{1}{2}.2.b + \dfrac{1}{4}) + (c^2 - \dfrac{1}{2}.2.c + \dfrac{1}{4}) \geq 0 \Leftrightarrow (a-\dfrac{1}{2})^2 + (b-\dfrac{1}{2})^2+(c-\dfrac{1}{2})^2 \geq 0$.
m)chuyen ve phan tich thanh binh phuong!
n) $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) \Leftrightarrow (a+b+c+d)^2 \geq 4(a+c)(b+d)$
ap dung cauchy voi hai bo so:
$a+c = x ; b+d =y $ta co:$(x+y)^2 \geq 4xy$ cai nay chuyen ve bien doi tuong duogn la ra!
g) tu a+b+c= 0 $ \Rightarrow (a+b+c)^2=0 \Rightarrow a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) = 0$ ma $ a^2+b^2+c^2 \geq 0 \Rightarrow ab+bc+ac \leq 0$
f) ap dung cauchy ta co :$(a+1)(b+1)(c+1) \geq 2.2.2\sqrt{abc} = 8 $ do abc=0
may bai kia mai giai tiep go met qua!

[NguyThang khtn]

em go lai de di kho nhin qua!

[teo le]

em go lai de di kho nhin qua!

mai em phải nộp bài rồi giúp em nhanh tý đi.thanks trước mấy anh

[NguyThang khtn]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geq a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq 2\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

sua lai de phan t va phan g!

[perfectstrong]

e) dùng bunhiacôpski

$8(a^4 + b^4 ) = (4 + 4)(a^4 + b^4 )$

$ \geqslant (2a^2 + 2b^2 )^2 = {\text{[}}(1 + 1)(a^2 + b^2 ){\text{]}}^2 $

$ \geqslant {\text{[}}(a + b)^2 {\text{]}}^2 \Rightarrow DPCM$

[quanganhct]

z) Cauchy 6 số
x) $A>0$
$ \Leftrightarrow 2A>0$
$ \Leftrightarrow (x^4+2x^3+x^2)+(x^2+2x+1)+(x^4+1)>0$
$ \Leftrightarrow (x^2+x)^2+(x+1)^2+x^4+1>0$ hiển nhiên đúng

[perfectstrong]

z) dùng cauchy
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd$

$ \geqslant 2ab + 2cd + ac + bd$

$ = 3(ac + bd) \geqslant 3.2\sqrt {abcd} = 6$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 16-11-2010 - 22:56

[quanganhct]

t)
x<0 hiển nhiên B>0
x>1 thì :
$B=(x^8 - x^7)+(x^4-x)+1 \geq 1 >0$
$0 \leq x \leq 1$ thì :
$B=x^8+(x^4-x^7)+(1-x) \geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quanganhct: 16-11-2010 - 23:00

[dark templar]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

Câu e :
$8\left( {a^4 + b^4 } \right) = 4.\left( {1 + 1} \right)\left( {a^4 + b^4 } \right) \ge 4\left( {a^2 + b^2 } \right)^2 $
$= \left[ {\left( {1 + 1} \right)\left( {a^2 + b^2 } \right)} \right]^2 \ge \left[ {\left( {a + b} \right)^2 } \right]^2 = \left( {a + b} \right)^4 \left( {Cauchy - Schwarz} \right) $
Câu z:
$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd \ge 6\sqrt[6]{{a^3 b^3 c^3 d^3 }} = 6\left( {AM - GM} \right)$
Câu y:hình như thiếu đk $a,b,c>0$
Giả sử ko có BĐT nào là sai
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + \dfrac{1}{b} < 2 \\ b + \dfrac{1}{c} < 2 \\ c + \dfrac{1}{a} < 2 \end{array} \right. \Rightarrow a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} < 6 $
$a + b + c + \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge 6\sqrt[6]{{abc.\dfrac{1}{{abc}}}} = 6$
Điều giả sử sai suy ra đpcm

[NguyThang khtn]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

y) cong tung ve cua ba cai da cho ta duoc :$ a+\dfrac{1}{b}+b+\dfrac{1}{c}+c+\dfrac{1}{a} < 2+2+2 $
ma $a+ \dfrac{1}{a} \geq 2\sqrt{a\dfrac{1}{a}}=2$ tuong tu ta co :$b+\dfrac{1}{b} \geq 2 ; c+\dfrac{1}{c} \geq 2 $ cong tung ve ta thay vo li suy ra DPCM
t) ta co:$\dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} = c(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}) \geq 2c $ (theo co si) tuong tu:
$\dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geq 2a ; \dfrac{ab}{c} + \dfrac{bc}{a} \geq 2b $ cong tung ve ta duoc DPCM.
ta co : $(a+b)^2 \geq 4ab \Rightarrow \dfrac{ab}{a+b} \geq \dfrac{a+b}{4} $ tuong tu :
$ \dfrac{cb}{c+b} \geq \dfrac{c+b}{4} ; \dfrac{ac}{a+c} \geq \dfrac{a+c}{4} $
cong tung ve ta duoc dpcm!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 16-11-2010 - 23:07

[perfectstrong]

chém bài o rồi đi ngủ đây, mệt quá.
o) Không mất tính tổng quát, giả sử a<=b<=c.
<=> a^2 <= b^2 <= c^2
mà $(a + b + c)^2 = 36 \Leftrightarrow a^2 + b^2 + c^2 = 18.$
Nên $ \Rightarrow 18 \geqslant 3a^2 \Leftrightarrow a^2 \leqslant 6 \Leftrightarrow |a| \leqslant \sqrt 6 \Leftrightarrow - \sqrt 6 \leqslant a \leqslant \sqrt 6 $. Tương tự, ta có đpcm.

[dark templar]

Câu m:
Áp dụng câu e có
$a^4 + b^4 \ge \dfrac{{\left( {a + b} \right)^4 }}{8} = \dfrac{{2^4 }}{8} = 2\left( {dpcm} \right)$
Câu n:
$x^4 + y^4 + z^4 \ge \dfrac{{\left( {x^2 + y^2 + z^2 } \right)^2 }}{3} \ge \dfrac{{\left( {xy + yz + zx} \right)^2 }}{3} = \dfrac{{16}}{3}\left( {dpcm}(Cauchy-Schwarz) \right)$
Câu p:
$\left( {x + y + z} \right)^2 \ge 0 \Leftrightarrow x^2 + y^2 + z^2 + 2\left( {xy + yz + zx} \right) \ge 0 $
$\Leftrightarrow xy + yz + zx \ge - \dfrac{1}{2} $
$xy + yz + zx \le x^2 + y^2 + z^2 = 1 $

[quanganhct]

Cho a+b+c=0, CM ab+bc+ca<=0
$ab+bc+ca \leq 0$
$ \Leftrightarrow 2(ab+bc+ca) \leq 0 = (a+b+c)^2$
$ \Leftrightarrow 0 \leq a^2+b^2+c^2$ (đúng)
Suy ra đpcm

[teo le]

mấy anh chém tiếp em mấy bài luôn đi

[NguyThang khtn]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

n) ap dung BDt: $3(x^2+b^2+c^2) \geq (x+y+z)^2 ; x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+xz$
ta co: $ 3( x^4+y^4+z^4) \geq (x^2+y^2+z^2)^2 \geq (xy+yz+xz)^2 =16 \Rightarrow x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $ (do xy+yz+zx=4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 16-11-2010 - 23:14

[dark templar]

Câu s:
$\dfrac{{\left( {a + b} \right)^2 }}{c} + \dfrac{{\left( {b + c} \right){}^2}}{a} + \dfrac{{\left( {c + a} \right)^2 }}{b} \ge \dfrac{{\left( {a + b + b + c + c + a} \right)^2 }}{{a + b + c}} = \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)^2 }}{{a + b + c}} = 4\left( {a + b + c} \right)\left( {dpcm - Cauchy - Schwarz} \right)$
Câu w:
$x^2 + 4y^2 + z^2 = 4xy + 5x - 10y + 2z - 5 $
$\Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)^2 - 5\left( {x - 2y} \right) + \left( {z - 1} \right)^2 + 4 = 0 $
$t = x - 2y \Rightarrow t^2 - 5t + 4 = - \left( {z - 1} \right)^2 \le 0 $
$\Rightarrow 1 \le t \le 4 \Leftrightarrow 1 \le x - 2y \le 4\left( {dpcm} \right)$

[teo le]

thanks mấy anh nhiều

[quanganhct]

Câu cuối :
Đẳng thức đã cho biến đổi tương đương thành :
$(x-2y)^2-5(x-2y)+4=-(z-1)^2 \leq 0$
Đặt $x-2y =t$
$t^2 - 5t + 4 \leq 0$
$(t-1)(t-4) \leq 0$
$1 \leq t \leq 4$
DPCM

[NguyThang khtn]

cm các bđt
e. $ 8(a^4+b^4)\geq(a+b)^4 $
f. $ a^2+b^2+c^2+d^2 \geq 2(a+c+d) $
g. $ a^2+b^2+c^2+\dfrac{3}{4} \geq a+b+c $
m. $ a^2+4b^2+4c^2 \geq 4ab-4ac+8bc $
n. $ (\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{c+d}{2})^2\geq(a+c)(b+d) $
g. cho a+b+c=0.chứng minh $ ab+bc+ca \leq 0 $
f. cho a;b;c>0 và tích bằng 1 .Cm $ (a+1)(b+1)(c+1) \geq 8$
z. cho a;b;c;d>0 và tích bằng 1.Cm $ a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd \geq 6 $
x. Cm $ A=x^4+x^3+x^2+x+1 > 0 \forall x $
t. Cm $ B= x^8 -x^7+x^4-x+1 \geq 0 \forall x $
y. Cm có ít nhất 1 bdt là sai $ a+\dfrac{1}{b}<2;b+\dfrac{1}{c}<2;c+\dfrac{1}{a}<2 $
o. Cho a+b+c=6; ab+bc+ca=9.Cm $ 0\leq a \leq4;0\leq b \leq4;0\leq c \leq4 $
t.cho a;b;c>0 Cm $ \dfrac{bc}{a} + \dfrac{ac}{b} + \dfrac{ab}{c} \geg a+b+c $
$ \dfrac{ab}{a+b} +\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{a+c} \leq \dfrac{a+b+c}{2} $
m. cho a+b=2.chưng minh $ a^4+b^4 \geq 2 $
n. cho xy+yz+zx=4.chúng minh $ x^4+y^4+z^4 \geq \dfrac{16}{3} $
p. cho $ x^2+y^2+z^2=1 $ .chứng minh $ \dfrac{-1}{2} \leq xy+yz+zx \geq 1 $
q. cho a;b;c>0 ; a+b+c=1.chứng minh $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) >8 $
r.cho x>y;xy=1.chứng minh $ \dfrac{x^2+y^2}{x-y}\geq\sqrt{x} $
s. cho a;b;c>0.chứng minh $ \dfrac{(a+b)^2}{c} +\dfrac{(b+c)^2}{a}+\dfrac{(a+c)^2}{4}\geq4(a+b+c) $
w. cho x;y;z thỏa mãn $ x^2+4y^2+z^2=4xy+5x-10y+2z-5 $ .chứng minh $ 1\leq x-2y\leq4 $

q) ta co:do a+b+c=1 nen $ (\dfrac{1}{a}-1)(\dfrac{1}{b}-1)(\dfrac{1}{c}-1) = \dfrac{b+c}{a} + \dfrac{a+b}{c} + \dfrac{a+c}{b} \geq \dfrac{8\sqrt{abc}}{abc} =\dfrac{8}{\sqrt{abc}}$ (1)
ma $ a+b+c = 1 \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow 1 \geq \sqrt{abc} $(2) tu (1) va (2) suy ra DPCM