Chủ đề này có 80 trả lời

[hxthanh]

Cuongquep là người đã tìm ra công thức này ngày hôm qua => Trao đổi với bọn mình nên bạn nên thank cậu ấy :
$3x^5-19.(72x-y)^2 = 240677=> 19.(72x-y)^2 = 3x^5 - 240677 => GTTĐ 72x - y = \pm \sqrt{\dfrac{3x^5 - 240677}{19}} => x > 9 .$
TH1 : $ 72x - y = \sqrt{\dfrac{3x^5 - 240677}{19}} => y = 72x - \sqrt{\dfrac{3x^5 - 240677}{19}} > 0 => 72x > \sqrt{\dfrac{3x^5 - 240677}{19}} => 5184x^2 >\dfrac{3x^5 - 240677}{19} => 98496 x^2 > 3x^5 - 240677 => 3x^5 - x^2 < 240677 => x < 32 => $

Công việc còn lại thì nhờ hỗ trợ của máy tính ( Còn TH2 vô nghiệm )

Rất thiếu căn cứ!
Rõ ràng x=32, y=4603 là nghiệm
Mà trường hợp này 72x-y=72.32-4603=-2299<0 đấy thôi Sao dám nói TH2 vô nghiệm!???
Chờ một lát tôi sẽ chỉ ra một cặp nghiệm lớn hơn nữa cho bạn xem!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 28-12-2010 - 23:01

[Phạm Hữu Bảo Chung]

À , xin lỗi bạn nhé . Mình chỉ chép y nguyên bài làm của bạn ấy thôi. Chắc là tại cách lập luận của mình chưa chặt chẽ lắm . ( mà mình cũng ngờ ngợ từ đầu rồi , ngay ở đầu đề mình đã nói là thiếu nghiệm )

[NguyThang khtn]

GPT:
$\sqrt{2x^2 + 5x +12} + \sqrt{2x^2 + 3x + 2} = x+ 5$

[perfectstrong]

Đặt $y = \sqrt {2x^2 + 3x + 2} $ (y không âm)
Pt đã cho trở thành:
$\begin{gathered} \Rightarrow \sqrt {y^2 + 2x + 10} + y = x + 5 \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {y^2 + 2x + 10} = x + 5 - y \hfill \\ \Rightarrow y^2 + 2x + 10 = x^2 + 25 + y^2 + 10x - 2yx - 10y \hfill \\ \Leftrightarrow x^2 + 15 + 8x - 2yx - 10y = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow x^2 + (8 - 2y)x + 15 - 10y = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {5 + x} \right)\left( {3 + x - 2y} \right) = 0 \hfill \\ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} x = - 5 \hfill \\ y = \dfrac{{x + 3}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ y = \dfrac{{x + 3}}{2} \Leftrightarrow \sqrt {2x^2 + 3x + 2} = \dfrac{{x + 3}}{2} \hfill \\ \Rightarrow 2x^2 + 3x + 2 = \dfrac{{x^2 + 6x + 9}}{4} \hfill \\ \Leftrightarrow 7x^2 + 6x - 1 = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow (x + 1)(7x - 1) = 0 \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;\dfrac{1}{7}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} $
Thử chọn, vậy $S = \left\{ { - 1;\dfrac{1}{7}} \right\}$

[NguyThang khtn]

HAY!
a,$ \sqrt{5x^2 + 14x +9} - \sqrt{x^2-x-20} = 5\sqrt{x+1}$

b,$\sqrt{x} + \sqrt[4]{x (1-x)^2} + \sqrt[4]{(1-x)^3} = \sqrt{1-x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1-x)} $

c,$\sqrt[3]{7x+1} - \sqrt[3]{x^2-x-8} + \sqrt[3]{x^2-8x-1} = 2$

d,$\sqrt{\sqrt{2}-1-x} + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 24-01-2011 - 18:54

[Đặng Hoài Đức]

câu a: chuyển căn(x^2-x-20) sang bình phương, chuyển vế ta có
4x^2 -10x +4 = 10*căn((x+1)(x^2-x-20))
<=>2x^2-5x+2 = 5*căn((x+4)(x^2-4x-5))
<=>2(x^2-4x-5) + 3(x+4)= 5*căn((x+4)(x^2-4x-5))
<=> 2*(x^2-4x-5)/(x+4)-5*căn((x^2-4x-5)/(x+4))+3 =0
sau đó đặt căn((x^2-4x-5)/(x+4)) là a
=> 2a^2-5a +3 = 0 sau đó giải ra là đk
Ai đọc hiểu thì gõ ra cụ thể giúp mình

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Đặng Hoài Đức: 27-01-2011 - 17:51

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu a: Chuyển $ \sqrt{(x^2 - x -20)} $ căn sang bình phương, chuyển vế ta có
$ 4x^2 - 10x + 4 = 10. \sqrt{(x + 1)(x^2 - x - 20)} $
$ <=> 2x^2 - 5x + 2 = 5. \sqrt{(x + 4)(x^2 - 4x - 5)} $
$ <=>2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4)= 5. \sqrt{(x + 4)(x^2 - 4x - 5)}$
$ <=> \dfrac{2.(x^2 - 4x - 5)}{(x + 4)} - 5. \sqrt{ \dfrac{x^2 - 4x - 5}{x + 4}} + 3 = 0$
Sau đó đặt $ \sqrt{ \dfrac{x^2 - 4x - 5}{x + 4} } $ là a .
=> 2a^2 - 5a + 3 = 0 sau đó giải ra là đk
Ai đọc hiểu thì gõ ra cụ thể giúp mình

Thế này hả bạn ?

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài c dùng phương pháp đặt ẩn phụ phải không !
Giải : ĐKXĐ : $ 0 \leq x \leq 1 $
Đặt :
$ a = \sqrt[4]{x} ; b = \sqrt[4]{ 1 - x } => a^4 + b^4 = 1 ( a , b \geq 0 ) $
=> $ \sqrt{x} + \sqrt[4]{x (1 - x)^2} + \sqrt[4]{(1 - x)^3} = \sqrt{1 - x} + \sqrt[4]{x^3} + \sqrt[4]{x^2(1 - x)} <=> a^2 + ab^2 + b^3 = b^2 + a^3 + a^2b => ( a^2 - b^2 ) - ( a^3 - b^3 ) - ( a^2b - ab^2 ) = 0 => ( a - b ) ( a + b ) - ( a - b )(a^2 + ab + b^2 ) - ab ( a - b) = ( a - b )( a + b - a^2 - ab - b^2 - ab = ( a - b )[ ( a + b ) - ( a + b )^2 ] = ( a - b )( a + b ) ( 1 - a + b ) = 0 $
Chỉ cần giải phương trình tích nữa là xong ( Lưu ý cần đối chiếu điều kiện của a,b và x,y )
Mà có bạn nào biết dấu hoặc " [ " viết latex như thế nào không ? Cảm ơn nhiều !!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài d đề thế này phải không ?
d,$\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x} + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$

[Lê Xuân Trường Giang]

Đã vậy tôi zô đây góp vui cho topic của bạn băng 1 bài cùi bắp.....
1.Giải pt $\sqrt {2x + 4} - 2\sqrt {2 - x} = \dfrac{{12 - 8x}}{{\sqrt {9x^2 + 10} }}$

[NguyThang khtn]

Bài d đề thế này phải không ?
d,$\sqrt{\sqrt{2} - 1 - x} + \sqrt[4]{x} = \dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}$

đúng rồi bạn giúp mình với!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài này rất tiếc là không thể chặn được
Đặt $ A=72x-y$ như thế $3x^5=240677+19A^2\ge 240677 \Rightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\sqrt[5]{240677} \Rightarrow x\ge 10$
x càng lớn càng tìm được nhiều nghiệm, y cũng thế không chặn được!
Anh có thể tìm được một số nghiệm nhưng không đưa ra được công thức xác định nghiệm. Vì thế nên ... bó tay rồi!

Còn việc xét mod 3 và mod 19 như sau
(240677 mod 3) = 1 (chia 3 dư 1)
Suy ra $(19(72x-y)^2 \;mod\; 3) = 1$ (72-x mod 3) = 1 hay 72x-y không chia hết cho 3, tóm lại y không chia hết cho 3
y=3M 1

(240677 mod 19) = 4 (chia 19 dư 4)
Suy ra $3x^5 \equiv 4\;\equiv\; 4+38\;\equiv 42\;mod\;19 \Rightarrow x^5 \equiv 14\;mod\;19$
Chỉ cần xét trên 1 hệ thặng dư đầy đủ của x từ 0 đến 18 của x^5 theo mod 19, ta có 13^5 chia 19 dư 14
Vậy x=19N+13 (với N 0 thỏa mãn đk x 10)

Tìm được các đk này thay về pt đầu, giải tiếp không nổi! (pt bậc 5) nên anh khóc!
Tuy nhiên, cho N từng giá trị cụ thể x thử vào y. nhưng đây không phải là công thức nghiệm đầy đủ đâu nhé!

Hình như là chỉ hai giá trị đó thì phải thầy ạ ( bởi vì hôm trước xem chỗ đề bài này thấy chỉ có 2 ô đáp án thôi ) - Liệu có thể là chỉ tồn tại khi x = 32 nên ta lập luận đưa về việc giải phương trình nghiệm nguyên của y ! Còn phương pháp giải thì em không biết !

[NguyThang khtn]

hay!
Tìm nghiệm nguyên của PT:
1)$ x^2+y^2 - 13(x-y) = 0 $
2)$3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x-7y = 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bboy114crew: 31-01-2011 - 12:38

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Câu a :
Ta có :
$ x^2 + y^2 - 13 ( x - y) = 0 $
$ => x^2 - 13x + y^2 + 13y = 0 $
Phương trình có nghiệm nguyên khi
$ \Delta_{x} $ là số chính phương.
=> $ ( - 13 )^2 - 4.( y^2 + 13y ) = k^2 \geq 0 $
=> $ 169 - 4y^2 - 4.13y = k^2 $
=> $ - ( 4y^2 - 4.13y + 169 ) + 2.169 = k^2 $
=> $ 2.169 = k^2 + ( 2y - 13)^2 $
Ta có $ 2. 169 = 13^2 + 13^2 = 7^2 + 17^2 $
Từ đó giải phương trình với các giá trị vừa tìm được !!
( ĐK : $ k \geq 0 $ )

[NguyThang khtn]

còn bài kia nữa!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Mình nghĩ bài này cũng dùng phương pháp biến đổi để đưa về dạng tam thức bậc hai theo một ẩn còn ẩn kia là tham số ! Bạn thử làm theo phương pháp này nhé !
$ 3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x - 7y = 0 $
=> $ 3x^2 - x.( 3y + 7 ) + 3y^2 - 7y = 0 $
Phương trình có nghiệm khi $ \Delta_x \geq 0 $
=> $ ( 3y + 7 )^2 - 4.3.( 3y^2 - 7y ) \geq 0 $
=> $ ( 9y^2 + 42y + 49 ) - 36y^2 + 84y \geq 0 $
=> $ ( - 27y^2 + 126y + 49 ) \geq 0 $
=> $ -3 ( 9y^2 - 42 y + 49 ) + 196 \geq 0 $
=> $ -3.( 3y - 7)^2 \geq - 196 $
=> $ 3.(3y - 7)^2 \leq 196 $
=> $ ( 3y - 7)^2 \leq \dfrac{196}{3} $
=> $ \dfrac{-14}{\sqrt{3}} \leq 3y + 7 \leq \dfrac{14}{\sqrt{3}}$
=> $ \dfrac{-14}{\sqrt{3}} - 7 \leq 3y \leq \dfrac{14}{\sqrt{3}} - 7 $
=> $ \dfrac{-14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \leq 3y \leq \dfrac{14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
=> $ \dfrac{-14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} \leq y \leq \dfrac{14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} $
Do y nguyên nên :
$ - 5 \leq y \leq 5 $
Đến đây , bạn thay các giá trị của y để xét $ \Delta $ là số chính phương => Nghiệm của bài toán. Nếu chỗ nào lập luận sai sót mong các bạn bỏ qua nhé !!!

[mybubulov3]

Mình nghĩ bài này cũng dùng phương pháp biến đổi để đưa về dạng tam thức bậc hai theo một ẩn còn ẩn kia là tham số ! Bạn thử làm theo phương pháp này nhé !
$ 3x^2 + 3y^2 - 3xy - 7x - 7y = 0 $
=> $ 3x^2 - x.( 3y + 7 ) + 3y^2 - 7y = 0 $
Phương trình có nghiệm khi $ \Delta_x \geq 0 $
=> $ ( 3y + 7 )^2 - 4.3.( 3y^2 - 7y ) \geq 0 $
=> $ ( 9y^2 + 42y + 49 ) - 36y^2 + 84y \geq 0 $
=> $ ( - 27y^2 + 126y + 49 ) \geq 0 $
=> $ -3 ( 9y^2 - 42 y + 49 ) + 196 \geq 0 $
=> $ -3.( 3y - 7)^2 \geq - 196 $
=> $ 3.(3y - 7)^2 \leq 196 $
=> $ ( 3y - 7)^2 \leq \dfrac{196}{3} $
=> $ \dfrac{-14}{\sqrt{3}} \leq 3y + 7 \leq \dfrac{14}{\sqrt{3}}$
=> $ \dfrac{-14}{\sqrt{3}} - 7 \leq 3y \leq \dfrac{14}{\sqrt{3}} - 7 $
=> $ \dfrac{-14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \leq 3y \leq \dfrac{14 - 7\sqrt{3}}{\sqrt{3}} $
=> $ \dfrac{-14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} \leq y \leq \dfrac{14 - 7\sqrt{3}}{3.\sqrt{3}} $
Do y nguyên nên :
$ - 5 \leq y \leq 5 $
Đến đây , bạn thay các giá trị của y để xét $ \Delta $ là số chính phương => Nghiệm của bài toán. Nếu chỗ nào lập luận sai sót mong các bạn bỏ qua nhé !!!

Vậy với những phương trình nghiệm nguyên có dạng $a(x^2 \pm xy +y^2) +b(x+y)=0$ thì đều dùng cách này, không còn cách khác à? Với những phương trình có hệ số lớn thì khó mà áp dụng cách này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mybubulov3: 02-02-2011 - 12:11

[Giang1994]

giai phuong trinh:
a)$x+ \sqrt{24+\sqrt{x}} = 6$
b)$x^2-4x=\sqrt{x+2}$

phần b) ngoài cách của dark templar bạn tham khảo thêm cách nay nhé!
cách này khá tổng quát, mình nghĩ có thể áp dụng cho nhiều bài tương tự ( trừ phần a) )
đặt $\sqrt{x+2}=ay+b$ sao cho hệ phương trình hai ẩn x,y thu được là hệ đối xứng loại 2
vậy chọn a=1, b=-2
từ đây ta được hệ
$\left\{\begin{array}{l} x^{2}-4x-y+2=0\\y^{2}-4y-x+2=0 \end{array}\right.$
giải hệ này ta tính được y theo x, thế vào dẫn đến giải pt bậc 2 và ra tìm được x.

[Giang1994]

GPT:
$\sqrt{2x^2 + 5x +12} + \sqrt{2x^2 + 3x + 2} = x+ 5$

không biết ai làm cách này chưa? nó ngắn hơn tí
đặt luôn $a= \sqrt{ 2x^{2}+5x+12 } ; b= \sqrt{ 2x^{2}+3x+2 }$
khi đó có $ \left\{\begin{array}{l}a+b=x+5\\ a^{2}- b^{2}=2x+10 \end{array}\right.$
$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=x+5\\ a- b=2 \end{array}\right.$
$ \Rightarrow2a=x+7$

[mybubulov3]

Năm mới tặng mọi người mấy bài về pt nghiệm nguyên này:
Bài 1:Giải pt nghiệm nguyên
a) $x^3+y^3-3(xy+1)=0$
b) $x^3-y^3=xy+8$
c) $y^2-x (x+1)(x+2)(x+3)=1 $
d) $x (x+1)(x+2)(x+3)=y^2 $
e) $5x-y+2z=4$
f) $6x+10y+15z=3$
g) $x^3-3y^3-9z^3=0$
h) $x^4+y^4+z^4+t^4=1995$
i) $x^2+y^2+z^2=x^2y^2$
j) $x^3+y^3+z^3-3xyz=1$
Bài 2:Chứng minh phương trình sau không có nghiệm nguyên
$x^4+y^4+(x+y)^4=3996$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mybubulov3: 03-02-2011 - 13:40