Chủ đề này có 7 trả lời

[quoctrungtrinh]

Tìm GTLN của $ (x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) $ với $ (1 \leq x,y,z \leq 2) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quoctrungtrinh: 04-12-2010 - 15:11

[dark templar]

Tìm GTLN của $ (x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) $ với $ (1 \leq x,y,z \leq 2) $

$A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\left( {1 \le x,y,z \le 2} \right) $
$x,y,z \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0 \\ \left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) \le 0 \\ \left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right) \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{2}{x} \le 3 \\ y + \dfrac{2}{y} \le 3 \\ z + \dfrac{2}{z} \le 3 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le 9 $
$9 \ge x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$
$\ge \left( {x + y + z} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + 3 \ge 2\sqrt A + 3\left( {AM - GM} \right) $
$\Rightarrow A \le 9 $
$A_{\max } = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 04-12-2010 - 17:32

[quoctrungtrinh]

$A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\left( {1 \le x,y,z \le 2} \right) $
$x,y,z \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0 \\ \left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) \le 0 \\ \left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right) \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{2}{x} \le 3 \\ y + \dfrac{2}{y} \le 3 \\ z + \dfrac{2}{z} \le 3 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le 9 $
$9 \ge x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$
$\ge \left( {x + y + z} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + 3 \ge 2\sqrt A + 3\left( {AM - GM} \right) $
$\Rightarrow A \le 9 $
$A_{\max } = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 1$

xem lại cách giải đi. Dễ dàng chứng minh được GTNN của biểu thức là 9 mà. Sai hoàn toàn

[traitimcamk7a]

$A = \left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)\left( {1 \le x,y,z \le 2} \right) $
$x,y,z \in \left[ {1;2} \right] \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \le 0 \\ \left( {y - 1} \right)\left( {y - 2} \right) \le 0 \\ \left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right) \le 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{2}{x} \le 3 \\ y + \dfrac{2}{y} \le 3 \\ z + \dfrac{2}{z} \le 3 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) \le 9 $
$9 \ge x + y + z + 2\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right)$
$\ge \left( {x + y + z} \right) + \left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + 3 \ge 2\sqrt A + 3\left( {AM - GM} \right) $
$\Rightarrow A \le 9 $
$A_{\max } = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 1$

Không đúng rồi, chỉ cần chọn $ x=y=2, z=1 $ ta có ngay $ A=10$

[mybest]

bài này áp dụng cô-si dược ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mybest: 07-12-2010 - 10:57

[perfectstrong]

bài này không tìm được max à

[quoctrungtrinh]

được chứ. max là 10 đấy

[Ho pham thieu]

Tìm GTLN của $ P=(x+y+z)(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) $ với $ (1 \leq x,y,z \leq 2) $

Co ban ma:
$ P=(\dfrac{y}{z} + \dfrac{x}{y}) + (\dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y})+(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})+3 $

G/s $ 1 \leq x \leq y \leq z \leq 2 $

ta dc $\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z} \geq 1 \\ \dfrac{y}{x},\dfrac{z}{y} \leq 1 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} (\dfrac{x}{y}-1)(\dfrac{y}{z}-1) \geq 0 \\ (\dfrac{y}{x}-1)(\dfrac{z}{y}-1) \geq 0 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x}{z}+1 \geq \dfrac{y}{z}+\dfrac{x}{y} \\ \dfrac{z}{x}+1 \geq \dfrac{y}{x}+\dfrac{z}{y} \end{array}\right. $

Tu do $ \Rightarrow P \leq 2(\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x})+5$

Do $ 1 \leq x, z \leq 2 $ nen $(x-2z)(z-2x) \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x} \leq \dfrac{5}{2} $

Suy ra $P \leq 10$

P=10 chang han tai x=2, y=z=1.

Vay MAX P =10