Bài 2 :
Vì BĐT trên là thuần nhất nên chuẩn hóa $a+b+c=1$
BĐT ban đầu tương đương với :
$\sum {\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } \ge \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$
Nhận xét :$\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} - \dfrac{{9a + 1}}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{\dfrac{a}{{1 - a}} - \dfrac{{\left( {9a + 1} \right)^2 }}{{32}}}}{{\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} + \dfrac{{9a + 1}}{{4\sqrt 2 }}}} = \dfrac{{9a - 1}}{{\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} + \dfrac{{9a + 1}}{{4\sqrt 2 }}}}\left( {3a - 1} \right)^2 $
$tt,\sqrt {\dfrac{b}{{1 - b}}} - \dfrac{{9b + 1}}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{9b - 1}}{{\sqrt {\dfrac{b}{{1 - b}}} + \dfrac{{9b + 1}}{{4\sqrt 2 }}}}\left( {3b - 1} \right)^2 $
$\sqrt {\dfrac{c}{{1 - c}}} - \dfrac{{9c + 1}}{{4\sqrt 2 }} = \dfrac{{9c - 1}}{{\sqrt {\dfrac{c}{{1 - c}}} + \dfrac{{9c + 1}}{{4\sqrt 2 }}}}\left( {3c - 1} \right)^2 $
Đặt $S_a = \dfrac{{9a - 1}}{{\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} + \dfrac{{9a + 1}}{{4\sqrt 2 }}}};S_b = \dfrac{{9b - 1}}{{\sqrt {\dfrac{b}{{1 - b}}} + \dfrac{{9b + 1}}{{4\sqrt 2 }}}};S_c = \dfrac{{9c - 1}}{{\sqrt {\dfrac{c}{{1 - c}}} + \dfrac{{9c + 1}}{{4\sqrt 2 }}}}$
$\Rightarrow \sum\limits_{a,b,c} {\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } - \dfrac{{9\sum {a + 3} }}{{4\sqrt 2 }} = S_a \left( {3a - 1} \right)^2 + S_b \left( {3b - 1} \right)^2 + S_c \left( {3c - 1} \right)^2 $
$\left\{ \begin{array}{l}a \ge b \ge c \Rightarrow S_a \ge S_b \ge S_c \\ S_a + S_b + S_c > 0 \Rightarrow \exists S_c > 0 \\ \end{array} \right. $
$\Rightarrow S_a ,S_b ,S_c > 0 $
$\Rightarrow \sum\limits_{a,b,c} {\sqrt {\dfrac{a}{{1 - a}}} } - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \ge 0 \Rightarrow dpcm $
P/s:Hồi chiều làm vội quá !Quên mất là $9a-1$ chưa biết dấu!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 16-12-2010 - 20:58