Chủ đề này có 7 trả lời

[hiep ga]

Tìm max của
$ \dfrac{2( \sqrt{a} + \sqrt{b} )}{(a+1)(b+1)} $
Với a,b 0
Mình chỉ tìm đc điểm rơi là a=b=1/3 thui còn giải thì chịu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hiep ga: 17-12-2010 - 20:31

[hiep ga]

Tìm max của
$ \dfrac{2( \sqrt{a} + \sqrt{b} )}{(a+1)(b+1)} $
Với a,b 0
Mình chỉ tìm đc điểm rơi là a=b=1/3 thui còn giải thì chịu

Biết ngay mà ! Chẳng ai thèm giải bài mình (

[Ho pham thieu]

Đừng nóng thế. Đây nè
Dùng kiến thức THPT đã
$P= \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a+1)(b+1)}$
Đặt $a= \tan ^2x, b= \tan^ 2y$ với $x,y \in [0; \dfrac{\pi}{2}] $
Lúc đó $P= \dfrac{2(\tan x+\tan y)}{( \tan^ 2x +1)( \tan^ 2y +1)}$

$=2\dfrac{sin(x+y)}{\cos x \cos y}.\cos ^2x.\cos ^2y$

$= 2sin(x+y).cosx.cosy=sin(x+y).(cos(x+y)+cos(x-y)) \leq sin(x+y).[cos(x+y)+1]$

$=t.\sqrt{1-(t-1)^2}=t.\sqrt{t(2-t)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{t^3.(6-3t)}$ (với t=cos(x+y)+1)

$\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\dfrac{(t+t+t+6-3t}{4})^4}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{(\dfrac{3}{2})^4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Đtxr khi $x=y=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow a=b=\dfrac{1}{3} $

Vậy $\max P=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

[hiep ga]

Đừng nóng thế. Đây nè
Dùng kiến thức THPT đã
$P= \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{(a+1)(b+1)}$
Đặt $a= \tan ^2x, b= \tan^ 2y$ với $x,y \in [0; \dfrac{\pi}{2}] $
Lúc đó $P= \dfrac{2(\tan x+\tan y)}{( \tan^ 2x +1)( \tan^ 2y +1)}$

$=2\dfrac{sin(x+y)}{\cos x \cos y}.\cos ^2x.\cos ^2y$

$= 2sin(x+y).cosx.cosy=sin(x+y).(cos(x+y)+cos(x-y)) \leq sin(x+y).[cos(x+y)+1]$

$=t.\sqrt{1-(t-1)^2}=t.\sqrt{t(2-t)}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{t^3.(6-3t)}$ (với t=cos(x+y)+1)

$\leq \dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{\dfrac{(t+t+t+6-3t}{4})^4}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.\sqrt{(\dfrac{3}{2})^4}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Đtxr khi $x=y=\dfrac{\pi}{3} \Rightarrow a=b=\dfrac{1}{3} $

Vậy $\max P=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Hic nên nhớ đây là forum THCS .Làm = cách THCS thui

[hiep ga]

Hic nên nhớ đây là forum THCS .Làm = cách THCS thui

Sau 3 ngày vẫn chưa có cách giải # (

[hiep ga]

Sau 3 ngày vẫn chưa có cách giải # (

Và bây h là ngày thứ 4 (

[Ho pham thieu]

Tìm max của
$P= \dfrac{2( \sqrt{a} + \sqrt{b} )}{(a+1)(b+1)} $
Với a,b 0
Mình chỉ tìm đc điểm rơi là a=b=1/3 thui còn giải thì chịu

Cách THCS nè.

Ta có (cô-si và bunhi)
$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1 = (ab+\dfrac{1}{9})+a+b+\dfrac{8}{9} $
$\geq a+b+\dfrac{2\sqrt{ab}}{3}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{2(a+b)}{3}+\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}+\dfrac{8}{9} \geq \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}+\dfrac{8}{9} $
$ \geq 2.\sqrt{\dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}.\dfrac{8}{9}}=\dfrac{8(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{3\sqrt{3}}$

Suy ra $P \leq \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\dfrac{8(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{3}$

Vậy $\max P=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

[hiep ga]

Cách THCS nè.

Ta có (cô-si và bunhi)
$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1 = (ab+\dfrac{1}{9})+a+b+\dfrac{8}{9} $
$\geq a+b+\dfrac{2\sqrt{ab}}{3}+\dfrac{8}{9}=\dfrac{2(a+b)}{3}+\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}+\dfrac{8}{9} \geq \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}+\dfrac{8}{9} $
$ \geq 2.\sqrt{\dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{3}.\dfrac{8}{9}}=\dfrac{8(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{3\sqrt{3}}$

Suy ra $P \leq \dfrac{2(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{\dfrac{8(\sqrt{a}+\sqrt{b})}{3\sqrt{3}}}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{3}$

Vậy $\max P=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

thnks nhiều nha