Chủ đề này có 15 trả lời

[Phạm Hữu Bảo Chung]

( Dành cho các bạn lớp 9 thôi nhé )
Câu 1 : Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn :
$ x^3 + 8 = 7\sqrt{ 8x + 1 } $
Câu 2 :Cho n là số nguyên dương . Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức :
$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{3}{3^3} + ... + + \dfrac{n}{3^n} < \dfrac{3}{4} $
Câu 3 : Giải hệ bất phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}a_1 - 4a_2 + 3a_3 \geq 0\\a_2 - 4a_3 + 3a_4 \geq 0\\a_3 - 4a_4 + 3a_5 \geq 0\\a_4 - 4a_5 + 3a_6 \geq 0\\....\\a_{98} - 4a_{99} + 3a_{100} \geq 0\\a_{99} - 4a_{100} + 3a_1 \geq 0\\a_{100} - 4a_1 + 3a_2 \geq 0\\\end{array}\right.$
Biết $ a_{100} = 1$ . Hãy tính tổng : $ S = a_1^{2001} + a_2^{2002} +...+ a_{100}^{2100}$
Câu 4 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}x^3 + y^3 - xy^2 = 1\\4x^4 + y^4 = 4x + y\end{array}\right.$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Đề dễ quá à các bạn ! Có hai ba bài gì đó là đề thi tuyển sinh của trường Lê Hồng Phong ! Mấy bài này không quá khó đâu!

[Phạm Hữu Bảo Chung]

À có hai bài hôm bữa kiểm tra đội tuyển , các bạn thử làm nhé ( Bên topic kia không có ai giải cả ! )
Câu 1 :
a, $ \sqrt{\dfrac{5 \sqrt{2} + 7 }{ x + 1}} + 4x = 3\sqrt{2} - 1 $
b, Giải hệ phương trình sau với $ x,y,z \in Z $
$ \left\{\begin{array}{l}y^3 = x^3 + 2x^2 + 1\\xy = z^2 + 2\end{array}\right. $
Lưu ý : ( Dành cho các bạn lớp 9 thôi nhé )

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Phương trình :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
Giải :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
<=> $ 4.( 12x + 12 )( x^4 - 4x ) = ( x^4 - 4x + 12x + 12 )^2$
Đặt : $ a = 12x + 12 ; b = x^4 - 4x $
Phương trình trở thành : $ 4ab = ( a + b )^2 => ( a - b )^2 = 0 => a = b $
Giải phương trình : $ x^4 - 4x = 12x + 12 $
Ta có : $ x^4 - 16x - 12 = 0 $
Giả sử đa thức trên phân tích được :
$ x^4 - 16x - 12 = ( x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d ) => x^4 + ( a + c ).x^3 + ( d + ac + b ) x^2 + ( ad + bc ).x + bd $
Đồng nhất hệ số : Ta sẽ có a = -2 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 6.
Vậy phương trình có hai nghiệm : $ 1 - \sqrt{3} ; 1 + \sqrt{3}$
Xin lỗi vì đã làm Hoàng đăng đau đầu suy nghĩ ! Tại bởi vì bạn khiêm tốn quá nên mình phải bịa để cho bạn bực tức ( ganh ghét , tức giận ) ! Haha ! Đăng thấy thế nào ? ( )

[hoangdang]

Phương trình :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
Giải :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
<=> $ 4.( 12x + 12 )( x^4 - 4x ) = ( x^4 - 4x + 12x + 12 )^2$
Đặt : $ a = 12x + 12 ; b = x^4 - 4x $
Phương trình trở thành : $ 4ab = ( a + b )^2 => ( a - b )^2 = 0 => a = b $
Giải phương trình : $ x^4 - 4x = 12x + 12 $
Ta có : $ x^4 - 16x - 12 = 0 $
Giả sử đa thức trên phân tích được :
$ x^4 - 16x - 12 = ( x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d ) => x^4 + ( a + c ).x^3 + ( d + ac + b ) x^2 + ( ad + bc ).x + bd $
Đồng nhất hệ số : Ta sẽ có a = -2 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 6.
Vậy phương trình có hai nghiệm : $ 1 - \sqrt{3} ; 1 + \sqrt{3}$
Xin lỗi vì đã làm Hoàng đăng đau đầu suy nghĩ ! Tại bởi vì bạn khiêm tốn quá nên mình phải bịa để cho bạn bực tức ( ganh ghét , tức giận ) ! Haha ! Đăng thấy thế nào ? ( )

sax, troi dat oj, hoa ra loa bao chung lua, minh noi co 2 nghiem mak cu....@@@

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Mọi người thử làm mấy bài trên kia nhé ?
Không khó lắm đâu !

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Nấm nè :
$ x^2 + 2 \sqrt{ ( 3x - 2 )^3 } = 3x.( 3x - 2 )$
ĐKXĐ : $ x \geq \dfrac{2}{3} $
Đặt : $ a = \sqrt{ 3x - 2 } ( a \geq 0 ) => 3x - 2 = a^2 => 3x = a^2 + 2 => x = \dfrac{a^2 + 2}{3} $
=> Phương trình đưa được về dạng :
$ ( \dfrac{a^2 + 2}{3} )^2 + 2a^3 = ( a^2 + 2 ).a^2$
$ <=> \dfrac{a^4 + 4a^2 + 4}{9} + 2a^3 = a^4 + 2a^2 $
$ <=> a^4 + 4a^2 + 4 + 18a^3 = 9a^4 + 18a^2 $
$ <=> 8a^4 - 18a^3 + 14a^2 - 4 = 0 $
$ <=> ( 8a^4 - 8a^3 ) - ( 10a^3 - 10a^2 ) + ( 4a^2 - 4a ) + ( 4a - 4 ) = 0 $
$ <=> ( a - 1 )( 8a^3 - 10a^2 + 4a + 4 ) = 0 $
Dễ thấy : $ 8a^3 - 10a^2 + 4a + 4 = 8a( a^2 - 2.a.\dfrac{5}{8} + \dfrac{25}{64} ) + \dfrac{7}{8}a + 4 = 8a( a - \dfrac{5}{8} )^2 + \dfrac{7}{8}a + 4 > 0 $
Vậy a = 1 => x = 1

[inhtoan]

Liệu có cách nào ngắn gọn hơn cho bài trên không nhỉ ?
${x^2} + 2\sqrt {{{(3x - 2)}^3}} = 3x(3x - 2)$
ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{2}{3}$
Với đk trên, pt đã cho tương đương
${x^2} - x(3x - 2) + 2(3x - 2)\sqrt {3x - 2} - 2x(3x - 2) = 0$

$<=>x(x-3x+2)+2(3x-2)(\sqrt{3x-2}-x)=0$

$ <=> 2x(1 - x) + 2(3x - 2)\dfrac{{3x - 2 - x}}{{\sqrt {3x - 2} + x}} = 0$

$<=> \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + \dfrac{{2(3x - 2)}}{{\sqrt {3x - 2} + x}} = 0\end{array} \right.$

$ <=> x = 1$

p/s: Latexb bị lỗi dấu tương đương ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-01-2011 - 12:09

[3T-29]

1 vài bài nữa nha:

a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1\\y-\dfrac{1}{z}=1\\z-\dfrac{1}{x}=1\\\end{array}\right.$

b) $\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+1\\x^2+2x+y^2+2y+1=0\\\end{array}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 3T-29: 11-02-2011 - 22:59

[Phạm Hữu Bảo Chung]

a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1\\y-\dfrac{1}{z}=1\\z-\dfrac{1}{x}=1\\\end{array}\right.$
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{y} + 1\\y = \dfrac{1}{z} + 1\\z = \dfrac{1}{x}+ 1\\\end{array}\right.$
ĐK : $ x;y;z \neq 0 $
Dễ thấy : $ y > 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow z > 0 $
Nhận thấy : $ x < 0 \Rightarrow \dfrac{1}{y} \leq -1 \Rightarrow y < 0 \Rightarrow \dfrac{1}{z} < -1 \Rightarrow z < 0 $
Vậy x ; y ; z luôn cùng dấu .
Giả sử : x = min{x;y;z}
$ \Rightarrow x \leq y;z $
Với x,y,z > 0
Do $ z \geq x \Rightarrow \dfrac{1}{z} \leq \dfrac{1}{x}( x,z > 0 ) \Rightarrow \dfrac{1}{z} + 1\leq \dfrac{1}{x} + 1 \Rightarrow y \leq z $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z} ( y,z > 0) \Rightarrow \dfrac{1}{y} + 1\geq \dfrac{1}{z} + 1 \Rightarrow x \geq y $
Vậy y = min{x;y;z}
$ \Rightarrow x = y$. Tương tự : $ \left\{\begin{array}{l}y = z\\z = x \end{array}\right. $
Xét trường hợpcả 3 số cùng âm , tương tự nhưng :
$ x \leq y \Rightarrow \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{y}\Rightarrow z \leq x$
Vậy z = min{x;y;z}
Khi đó ta có : x = z và tương tự $ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y = z\\x = y \end{array}\right. $
Vậy x = y = z . Giải phương trình : $ x - \dfrac{1}{x} = 1 $ nữa là xong
Bài 2 : Thiếu đề rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-02-2011 - 14:35

[3T-29]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$x^3-x^2y +3x -2y-4=0$

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$x^3-x^2y +3x -2y-4=0$
Giải ( Sai thì mọi người bổ sung cho mình nhé )
Từ phương trình trên
$ \Rightarrow (x^3 - x^2y ) + ( 2x - 2y ) + x - 4 = 0 $
$ \Rightarrow x^2 ( x - y ) + 2( x - y) = 4 - x $
$ \Rightarrow x - y = \dfrac{4 - x}{x^2 + 2} $
Do x - y nguyên . Đặt x - y = k $ ( k \in Z )$
$ \Rightarrow \dfrac{4 - x}{x^2 + 2} = k \Rightarrow 4 - x = kx^2 + 2k \Rightarrow kx^2 + x + 2k - 4 = 0$
Phương trình có nghiệm khi $ \Delta = 1^2 - 4( 2k - 4).k \geq 0 $
$ \Rightarrow 1 - 8k^2 + 16k \geq 0 \Rightarrow -8 ( k^2 - 2k + 1 ) + 9 \geq 0 \Rightarrow ( k^2 - 2k + 1) \leq \dfrac{9}{8} \Rightarrow ( k - 1)^2 \leq \dfrac{9}{8} \Rightarrow \dfrac{- 3}{2.\sqrt2} + 1 \leq k \leq \dfrac{3}{2.\sqrt2} + 1$
Chỉ cần xét 3 ,4 TH với k ( do k luôn nguyên ) sau đó giải phương trình tìm x và tìm y để kết luận nữa là được !!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 24-02-2011 - 21:34

[trinhthuhuong]

[quote name='3T-29' date='Feb 11 2011, 10:57 PM' post='253117']
1 vài bài nữa nha:

a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1\\y-\dfrac{1}{z}=1\\z-\dfrac{1}{x}=1\\\end{array}\right.$
a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1(1)\\y-\dfrac{1}{z}=1(2)\\z-\dfrac{1}{x}=1(3)\\\end{array}\right.$
Từ (3)ta có$z=1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$ thay vào (2):
$y-\dfrac{x}{x+1}=1<=> xy+y-x=x+1<=> xy-1=2x-y$
từ (1) ta có xy-1=y
suy ra 2x-y=y<=>x=y
Do đó x=y=z
Ta có $x^2-x-1=0$
Đến đây thì giải tiếp.

[Pham Truong Dinh]

ban bảo chung cho mình hỏi cách giải cho cái hệ pt sau khi đồng nhất hệ số của pt bậc 4 ko, mình thấy cái hệ đó vẫn tương đối rắc rối

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Ta có hệ sau :
$ \left\{\begin{array}{l}a + c = 0\\d + ac + b = 0\\ ad + bc = -16 \\ bd =12\end{array}\right. $ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + b = - ac = c^2\\ -c.d + bc = -16\\bd = -12\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + b = - ac = c^2\\ c( b - d ) = -16 \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + \dfrac{-12}{d} = c^2\\ c( \dfrac{-12}{d} - d ) = -16 \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + \dfrac{-12}{d} = c^2\\\dfrac{-12}{d} - d = \dfrac{-16}{c} \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. $
Hai phương trình ở giữa giúp biến đổi c theo d , từ đó thay vào phương trình thứ (2) ở ban đầu để tìm ra b,d . Từ đó ta tìm được a,c.

[Pham Truong Dinh]

$ \left\{\begin{array}{l}a + c = 6\\d + ac + b = 12\\ ad + bc = -16 \\ bd =12\end{array}\right. $
các bạn có thể giải cụ thể cho mình hệ trên dc ko, giải chi tiết nha, đừng có ghi cách làm ko,
thank

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Truong Dinh: 04-05-2011 - 10:28