Phương trình , hệ phương trình và hệ bất phương trình :
#1
Đã gửi 28-01-2011 - 17:08
Câu 1 : Tìm tất cả các số nguyên x thoả mãn :
$ x^3 + 8 = 7\sqrt{ 8x + 1 } $
Câu 2 :Cho n là số nguyên dương . Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức :
$ \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3^2} + \dfrac{3}{3^3} + ... + + \dfrac{n}{3^n} < \dfrac{3}{4} $
Câu 3 : Giải hệ bất phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}a_1 - 4a_2 + 3a_3 \geq 0\\a_2 - 4a_3 + 3a_4 \geq 0\\a_3 - 4a_4 + 3a_5 \geq 0\\a_4 - 4a_5 + 3a_6 \geq 0\\....\\a_{98} - 4a_{99} + 3a_{100} \geq 0\\a_{99} - 4a_{100} + 3a_1 \geq 0\\a_{100} - 4a_1 + 3a_2 \geq 0\\\end{array}\right.$
Biết $ a_{100} = 1$ . Hãy tính tổng : $ S = a_1^{2001} + a_2^{2002} +...+ a_{100}^{2100}$
Câu 4 : Giải hệ phương trình sau :
$ \left\{\begin{array}{l}x^3 + y^3 - xy^2 = 1\\4x^4 + y^4 = 4x + y\end{array}\right.$
#2
Đã gửi 28-01-2011 - 21:26
#3
Đã gửi 29-01-2011 - 13:27
Câu 1 :
a, $ \sqrt{\dfrac{5 \sqrt{2} + 7 }{ x + 1}} + 4x = 3\sqrt{2} - 1 $
b, Giải hệ phương trình sau với $ x,y,z \in Z $
$ \left\{\begin{array}{l}y^3 = x^3 + 2x^2 + 1\\xy = z^2 + 2\end{array}\right. $
Lưu ý : ( Dành cho các bạn lớp 9 thôi nhé )
#4
Đã gửi 30-01-2011 - 21:40
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
Giải :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
<=> $ 4.( 12x + 12 )( x^4 - 4x ) = ( x^4 - 4x + 12x + 12 )^2$
Đặt : $ a = 12x + 12 ; b = x^4 - 4x $
Phương trình trở thành : $ 4ab = ( a + b )^2 => ( a - b )^2 = 0 => a = b $
Giải phương trình : $ x^4 - 4x = 12x + 12 $
Ta có : $ x^4 - 16x - 12 = 0 $
Giả sử đa thức trên phân tích được :
$ x^4 - 16x - 12 = ( x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d ) => x^4 + ( a + c ).x^3 + ( d + ac + b ) x^2 + ( ad + bc ).x + bd $
Đồng nhất hệ số : Ta sẽ có a = -2 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 6.
Vậy phương trình có hai nghiệm : $ 1 - \sqrt{3} ; 1 + \sqrt{3}$
Xin lỗi vì đã làm Hoàng đăng đau đầu suy nghĩ ! Tại bởi vì bạn khiêm tốn quá nên mình phải bịa để cho bạn bực tức ( ganh ghét , tức giận ) ! Haha ! Đăng thấy thế nào ? ( )
#5
Đã gửi 30-01-2011 - 21:45
sax, troi dat oj, hoa ra loa bao chung lua, minh noi co 2 nghiem mak cu....@@@Phương trình :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
Giải :
$ 48x(x + 1)( x^3 - 4 ) = ( x^4 + 8x + 12 )^2$
<=> $ 4.( 12x + 12 )( x^4 - 4x ) = ( x^4 - 4x + 12x + 12 )^2$
Đặt : $ a = 12x + 12 ; b = x^4 - 4x $
Phương trình trở thành : $ 4ab = ( a + b )^2 => ( a - b )^2 = 0 => a = b $
Giải phương trình : $ x^4 - 4x = 12x + 12 $
Ta có : $ x^4 - 16x - 12 = 0 $
Giả sử đa thức trên phân tích được :
$ x^4 - 16x - 12 = ( x^2 + ax + b )( x^2 + cx + d ) => x^4 + ( a + c ).x^3 + ( d + ac + b ) x^2 + ( ad + bc ).x + bd $
Đồng nhất hệ số : Ta sẽ có a = -2 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 6.
Vậy phương trình có hai nghiệm : $ 1 - \sqrt{3} ; 1 + \sqrt{3}$
Xin lỗi vì đã làm Hoàng đăng đau đầu suy nghĩ ! Tại bởi vì bạn khiêm tốn quá nên mình phải bịa để cho bạn bực tức ( ganh ghét , tức giận ) ! Haha ! Đăng thấy thế nào ? ( )
#6
Đã gửi 30-01-2011 - 22:09
Không khó lắm đâu !
#7
Đã gửi 31-01-2011 - 11:33
$ x^2 + 2 \sqrt{ ( 3x - 2 )^3 } = 3x.( 3x - 2 )$
ĐKXĐ : $ x \geq \dfrac{2}{3} $
Đặt : $ a = \sqrt{ 3x - 2 } ( a \geq 0 ) => 3x - 2 = a^2 => 3x = a^2 + 2 => x = \dfrac{a^2 + 2}{3} $
=> Phương trình đưa được về dạng :
$ ( \dfrac{a^2 + 2}{3} )^2 + 2a^3 = ( a^2 + 2 ).a^2$
$ <=> \dfrac{a^4 + 4a^2 + 4}{9} + 2a^3 = a^4 + 2a^2 $
$ <=> a^4 + 4a^2 + 4 + 18a^3 = 9a^4 + 18a^2 $
$ <=> 8a^4 - 18a^3 + 14a^2 - 4 = 0 $
$ <=> ( 8a^4 - 8a^3 ) - ( 10a^3 - 10a^2 ) + ( 4a^2 - 4a ) + ( 4a - 4 ) = 0 $
$ <=> ( a - 1 )( 8a^3 - 10a^2 + 4a + 4 ) = 0 $
Dễ thấy : $ 8a^3 - 10a^2 + 4a + 4 = 8a( a^2 - 2.a.\dfrac{5}{8} + \dfrac{25}{64} ) + \dfrac{7}{8}a + 4 = 8a( a - \dfrac{5}{8} )^2 + \dfrac{7}{8}a + 4 > 0 $
Vậy a = 1 => x = 1
#8
Đã gửi 31-01-2011 - 11:43
${x^2} + 2\sqrt {{{(3x - 2)}^3}} = 3x(3x - 2)$
ĐKXĐ: $x \ge \dfrac{2}{3}$
Với đk trên, pt đã cho tương đương
${x^2} - x(3x - 2) + 2(3x - 2)\sqrt {3x - 2} - 2x(3x - 2) = 0$
$<=>x(x-3x+2)+2(3x-2)(\sqrt{3x-2}-x)=0$
$ <=> 2x(1 - x) + 2(3x - 2)\dfrac{{3x - 2 - x}}{{\sqrt {3x - 2} + x}} = 0$
$<=> \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x + \dfrac{{2(3x - 2)}}{{\sqrt {3x - 2} + x}} = 0\end{array} \right.$
$ <=> x = 1$
p/s: Latexb bị lỗi dấu tương đương ??
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 31-01-2011 - 12:09
#9
Đã gửi 11-02-2011 - 22:57
a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1\\y-\dfrac{1}{z}=1\\z-\dfrac{1}{x}=1\\\end{array}\right.$
b) $\left\{\begin{array}{l}x^2-xy+1\\x^2+2x+y^2+2y+1=0\\\end{array}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 3T-29: 11-02-2011 - 22:59
http://don9x.com/forum
#10
Đã gửi 13-02-2011 - 14:14
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \dfrac{1}{y} + 1\\y = \dfrac{1}{z} + 1\\z = \dfrac{1}{x}+ 1\\\end{array}\right.$
ĐK : $ x;y;z \neq 0 $
Dễ thấy : $ y > 0 \Rightarrow x > 0 \Rightarrow z > 0 $
Nhận thấy : $ x < 0 \Rightarrow \dfrac{1}{y} \leq -1 \Rightarrow y < 0 \Rightarrow \dfrac{1}{z} < -1 \Rightarrow z < 0 $
Vậy x ; y ; z luôn cùng dấu .
Giả sử : x = min{x;y;z}
$ \Rightarrow x \leq y;z $
Với x,y,z > 0
Do $ z \geq x \Rightarrow \dfrac{1}{z} \leq \dfrac{1}{x}( x,z > 0 ) \Rightarrow \dfrac{1}{z} + 1\leq \dfrac{1}{x} + 1 \Rightarrow y \leq z $
$ \Rightarrow \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{1}{z} ( y,z > 0) \Rightarrow \dfrac{1}{y} + 1\geq \dfrac{1}{z} + 1 \Rightarrow x \geq y $
Vậy y = min{x;y;z}
$ \Rightarrow x = y$. Tương tự : $ \left\{\begin{array}{l}y = z\\z = x \end{array}\right. $
Xét trường hợpcả 3 số cùng âm , tương tự nhưng :
$ x \leq y \Rightarrow \dfrac{1}{x} \leq \dfrac{1}{y}\Rightarrow z \leq x$
Vậy z = min{x;y;z}
Khi đó ta có : x = z và tương tự $ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y = z\\x = y \end{array}\right. $
Vậy x = y = z . Giải phương trình : $ x - \dfrac{1}{x} = 1 $ nữa là xong
Bài 2 : Thiếu đề rồi
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-02-2011 - 14:35
#11
Đã gửi 24-02-2011 - 16:27
$x^3-x^2y +3x -2y-4=0$
http://don9x.com/forum
#12
Đã gửi 24-02-2011 - 21:33
Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
$x^3-x^2y +3x -2y-4=0$
Giải ( Sai thì mọi người bổ sung cho mình nhé )
Từ phương trình trên
$ \Rightarrow (x^3 - x^2y ) + ( 2x - 2y ) + x - 4 = 0 $
$ \Rightarrow x^2 ( x - y ) + 2( x - y) = 4 - x $
$ \Rightarrow x - y = \dfrac{4 - x}{x^2 + 2} $
Do x - y nguyên . Đặt x - y = k $ ( k \in Z )$
$ \Rightarrow \dfrac{4 - x}{x^2 + 2} = k \Rightarrow 4 - x = kx^2 + 2k \Rightarrow kx^2 + x + 2k - 4 = 0$
Phương trình có nghiệm khi $ \Delta = 1^2 - 4( 2k - 4).k \geq 0 $
$ \Rightarrow 1 - 8k^2 + 16k \geq 0 \Rightarrow -8 ( k^2 - 2k + 1 ) + 9 \geq 0 \Rightarrow ( k^2 - 2k + 1) \leq \dfrac{9}{8} \Rightarrow ( k - 1)^2 \leq \dfrac{9}{8} \Rightarrow \dfrac{- 3}{2.\sqrt2} + 1 \leq k \leq \dfrac{3}{2.\sqrt2} + 1$
Chỉ cần xét 3 ,4 TH với k ( do k luôn nguyên ) sau đó giải phương trình tìm x và tìm y để kết luận nữa là được !!!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 24-02-2011 - 21:34
#13
Đã gửi 23-04-2011 - 16:58
1 vài bài nữa nha:
a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1\\y-\dfrac{1}{z}=1\\z-\dfrac{1}{x}=1\\\end{array}\right.$
a) $ \left\{\begin{array}{l}x-\dfrac{1}{y}=1(1)\\y-\dfrac{1}{z}=1(2)\\z-\dfrac{1}{x}=1(3)\\\end{array}\right.$
Từ (3)ta có$z=1+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$ thay vào (2):
$y-\dfrac{x}{x+1}=1<=> xy+y-x=x+1<=> xy-1=2x-y$
từ (1) ta có xy-1=y
suy ra 2x-y=y<=>x=y
Do đó x=y=z
Ta có $x^2-x-1=0$
Đến đây thì giải tiếp.
#14
Đã gửi 23-04-2011 - 17:40
#15
Đã gửi 23-04-2011 - 18:09
$ \left\{\begin{array}{l}a + c = 0\\d + ac + b = 0\\ ad + bc = -16 \\ bd =12\end{array}\right. $ $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + b = - ac = c^2\\ -c.d + bc = -16\\bd = -12\end{array}\right. $
$ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + b = - ac = c^2\\ c( b - d ) = -16 \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + \dfrac{-12}{d} = c^2\\ c( \dfrac{-12}{d} - d ) = -16 \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. \left\{\begin{array}{l}a = -c\\d + \dfrac{-12}{d} = c^2\\\dfrac{-12}{d} - d = \dfrac{-16}{c} \\ b = \dfrac{-12}{d} \end{array}\right. $
Hai phương trình ở giữa giúp biến đổi c theo d , từ đó thay vào phương trình thứ (2) ở ban đầu để tìm ra b,d . Từ đó ta tìm được a,c.
#16
Đã gửi 04-05-2011 - 10:26
các bạn có thể giải cụ thể cho mình hệ trên dc ko, giải chi tiết nha, đừng có ghi cách làm ko,
thank
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Truong Dinh: 04-05-2011 - 10:28
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh