Chủ đề này có 4 trả lời

[Giang1994]

tìm tất cả các hàm số f:[0,1]-->R liên tục và thỏa mãn:
$f(xf(x))=f(x)$

[dark templar]

tìm tất cả các hàm số f:[0,1]-->R liên tục và thỏa mãn:
$f(xf(x))=f(x)(1)$

Mình làm vầy ,không biết đúng không nữa.
Trong (1),thế $x=1$ có: $f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = f\left( 1 \right)$
Đặt $f(1)=a=const$
Trong (1),thế $x=a$ có :$f\left( {f\left( 1 \right).f\left( {f\left( 1 \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( 1 \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( {a^2 } \right) = f\left( a \right) = a$
Sau vộ hạn lần thế như vậy ,ta sẽ có chuỗi đẳng thức sau:
$a = f\left( a \right) = f\left( {a^2 } \right) = ... = f\left( {a^n } \right) $
$\Rightarrow f\left( x \right) = b\left( {b = const} \right),\forall x $
Thử lại thấy thỏa đề.
P/s:Mình không biết đề cho hàm này nằm trong không gian $[0;1]$ để làm gì nữa ??????

[Giang1994]

Mình làm vầy ,không biết đúng không nữa.
Trong (1),thế $x=1$ có: $f\left( {f\left( 1 \right)} \right) = f\left( 1 \right)$
Đặt $f(1)=a=const$
Trong (1),thế $x=a$ có :$f\left( {f\left( 1 \right).f\left( {f\left( 1 \right)} \right)} \right) = f\left( {f\left( 1 \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( {a^2 } \right) = f\left( a \right) = a$
Sau vộ hạn lần thế như vậy ,ta sẽ có chuỗi đẳng thức sau:
$a = f\left( a \right) = f\left( {a^2 } \right) = ... = f\left( {a^n } \right) $
$\Rightarrow f\left( x \right) = b\left( {b = const} \right),\forall x $
Thử lại thấy thỏa đề.
P/s:Mình không biết đề cho hàm này nằm trong không gian $[0;1]$ để làm gì nữa ??????

bạn có thể giải thích giúp mình chỗ được không!
tại sao có thể suy ra là với mọi x, $f(x)=const$ với $a, a^{2}...a^{n}$ thôi mà
dữ kiện f liên tục dùng như thế nào vậy?

[dark templar]

có cách giải bằng THCS ko? em đang cần bài này lắm

bạn có thể giải thích giúp mình chỗ được không!
tại sao có thể suy ra là với mọi x, $f(x)=const$ với $a, a^{2}...a^{n}$ thôi mà
dữ kiện f liên tục dùng như thế nào vậy?

Tính chất đó mình cũng không nhớ nữa ! Hình như là t/c của hàm song ánh thì phải Mà dữ kiện liên tục chắc để áp dụng các t/c của song ánh ,đơn ánh ,hay toàn ánh !

[Nguyễn Hưng]

Phúc giải không đúng rồi.

Mình thử chém như sau (nhưng cũng không biết đúng sai thế nào X_X)

* Trong cả bài giải chỉ xem như $x \in \left[ {0,1} \right]$

Hiển nhiên $f(x)=0, \; \forall x \in [0,1]$ thỏa yêu cầu đề bài.

Giả sử $\exists f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R}$ thỏa yêu cầu đề bài.

Dễ thấy $xf\left( x \right) \in \left[ {0,1} \right],\forall x \in \left[ {0,1} \right]$ (nếu không thì biểu thức điều kiện không xác định)

Vậy có thể thay $x$ bởi $xf(x)$ vào điều kiện ban đầu, từ đó ta thu được
\[f\left( {xf\left( x \right)f\left( {xf\left( x \right)} \right)} \right) = f\left( {xf\left( x \right)} \right) \Leftrightarrow f\left( {xf{{\left( x \right)}^2}} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {0,1} \right]\]
Tiếp tục thay $x$ bởi $xf(x)$ vào điều kiện vừa thu được, ta có $f\left( {xf{{\left( x \right)}^3}} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {0,1} \right]$

Qui nạp, dễ dàng có được $f\left( {xf{{\left( x \right)}^n}} \right) = f\left( x \right),\forall x \in \left[ {0,1} \right] \; \; \;$ (2)

Suy ra (theo điều kiện xác định): $xf{\left( x \right)^n} \in \left[ {0,1} \right] \; \; \;$ (1)

Rõ ràng $f\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right]$

Giả sử tồn tại $a \in \left( {0,1} \right]$ sao cho $f\left( a \right) > 1$

Điều vô lí hiện ra rõ ràng khi ở (1) ta cho $x=a$ và $n \to + \infty $

Vậy suy ra được $f\left( x \right) \in \left[ {0,1} \right],\forall x \in \left[ {0,1} \right]$

* Nếu tồn tại $x$ sao cho $f(x)=1$

Xét tất cả $x$ mà $f(x)<1$, qua giới hạn 2 vế của (2) (giới hạn đối với n), ta thu được
\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\]
Vậy $f(x)=1, \forall x \in [0,1]$ do tính liên tục.

* Nếu không tồn tại $x$ sao cho $f(x)=1$

Qua giới hạn 2 vế của (2) (giới hạn đối với n), ta thu được
\[f\left( x \right) = f\left( 0 \right), \forall x \in [0,1]\]
$f(0)$ có thể có bất kì giá trị nào trong đoạn $[0,1]$
nên trong trường hợp này có thể kết luận $f(x)=q, \; \forall x \in [0,1] ,q \in (0,1)$

Tóm lại trong tất cả các trường hợp, ta đều có $f(x)=q, \; \forall x \in [0,1] ,q \in [0,1]$

Thử lại thấy thỏa.