Chủ đề này có 4 trả lời

[SLNA]

1, Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab+ac+bc=3. Chứng minh rằng:
$\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+3}+\dfrac{b^2+c^2}{b^2+c^2+3}+\dfrac{a^2+c^2}{a^2+c^2+3}\leq \dfrac{2}{5}(a^2+b^2+c^2)$
2, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y+2}+\dfrac{\sqrt{yz}}{y+z+2}+\dfrac{\sqrt{xz}}{x+z+2}\leq \dfrac{3}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi SLNA: 14-02-2011 - 22:05

[phuonganh_lms]

2, Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y+2}+\dfrac{\sqrt{yz}}{y+z+2}+\dfrac{\sqrt{xz}}{x+z+2}\leq \dfrac{3}{4}$

sao đề là a,b,c mà chứng minh là x,y,z vậy bạn?

[SLNA]

Mình đã sửa lại rồi đó, đánh nhầm.

[tuan101293]

Chém thử bài 1:
đặt $x=a^2+b^2,y=b^2+c^2,z=..$
ta có $x+y+z\ge 6$
ta phải CM
$\sum \dfrac{x}{x+3}\le \dfrac{\sum x}{5}$
tương đương $\sum \dfrac{1}{x+3}\ge \dfrac{15-\sum x}{15}$
mà $\sum \dfrac{1}{x+3}\ge \dfrac{9}{9+\sum x}\ge \dfrac{15-\sum x}{15}$ (do $\sum x\ge 6$)
...
note :ký hiệu $\sum x=x+y+z$

[NguyThang khtn]

2, Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng:
$\dfrac{\sqrt{xy}}{x+y+2}+\dfrac{\sqrt{yz}}{y+z+2}+\dfrac{\sqrt{xz}}{x+z+2}\leq \dfrac{3}{4}$

đặt $\sqrt{x}=a; \sqrt{y] = b; \sqrt{z}=c \Rightarrow abc=1 $
áp dụng BĐT cauchy-schawrt ta có:
$VT= \sum\dfrac{ab}{a^2+b^2+2} = \sum\dfrac{ab(c^2+3)}{(a^2+b^2+1+1)(1+1+c^2+1)} \leq \sum\dfrac{a+b+c+3ab+3bc+3ac}{(a+b+c+1)^2} $
ta cần chứng minh:
$\sum\dfrac{a+b+c+3ab+3bc+3ac}{(a+b+c+1)^2} \leq \dfrac{3}{4}(1)$
đặt $a+b+c=p;ab+bc+ac=q$
thì $(1) \Leftrightarrow 4p+12q \leq 3(p^2-2q) + 3 + 6p+6q \Leftrightarrow 3p^2+3+2p \geq 12q$
theo BDDT schur ta có:
$9 \geq 4pq-p^3 \Leftrightarrow \dfrac{p^3+9}{4p} \geq q \Rightarrow 12q \leq 12.\dfrac{p^3+9}{4p} \leq 3p^2+3+2p \Leftrightarrow 27 \leq 3p+2p^2 $ đúng theo AM-GM!