CMR S(k)
p 
k không chia hết cho p
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hipchipvip: 20-03-2011 - 19:20
#1
Đã gửi 20-03-2011 - 19:20
hipchipvip
-
- Thành viên
-
- 7 Bài viết
Lính mới
Cho S(k) = 1^k +2^k +3^k+...+(p-1)^k với p là số nguyên tố lẻ
CMR S(k) p k không chia hết cho p
CMR S(k)
p k không chia hết cho p
#2
Đã gửi 26-03-2011 - 21:47
tuan101293
-
- Thành viên
-
- 999 Bài viết
Trung úy
Sai đề rồi, phải là $p|S(k) $ khi và chỉ khi k ko chia hết cho (p-1)
theo định lý fermat,ta thấy chỉ cần xét TH $k<p-1$
khi đó theo định lý lagrange tồn tại số t mà $1\le t\le p-1$ mà $t^k-1$ ko chia hết cho p
khi đó theo tính chất của hệ thặng dư có
${1,2,...,p-1}={t,2t,...,(p-1)t} (mod p)$
suy ra $1^k+...+(p-1)^k \equiv t^k(1^k+....+(p-1)^k) (mod p)$ nên $S_k\equiv t^k*S_k (mod p)$
suy ra $p|S_k$
ĐPCM
theo định lý fermat,ta thấy chỉ cần xét TH $k<p-1$
khi đó theo định lý lagrange tồn tại số t mà $1\le t\le p-1$ mà $t^k-1$ ko chia hết cho p
khi đó theo tính chất của hệ thặng dư có
${1,2,...,p-1}={t,2t,...,(p-1)t} (mod p)$
suy ra $1^k+...+(p-1)^k \equiv t^k(1^k+....+(p-1)^k) (mod p)$ nên $S_k\equiv t^k*S_k (mod p)$
suy ra $p|S_k$
ĐPCM
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tuan101293: 26-03-2011 - 21:48
KT-PT
Do unto others as you would have them do unto you.
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
