Chủ đề này có 1 trả lời

[BPearl]

Cho ba số x, y, z thỏa:
$x-\sqrt{y}=1, y-\sqrt{z}=1, z-\sqrt{x}=1$

a) Chứng minh rằng x=y=z
b) TÌm giá trị của x

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BPearl: 06-04-2011 - 21:26

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cho ba số x, y, z thỏa:
$x-\sqrt{y}=1, y-\sqrt{z}=1, z-\sqrt{x}=1$

a) Chứng minh rằng x=y=z
b) TÌm giá trị của x

ĐK $ x,y,z \geq 0 $
Không mất tính tổng quát , giả sử :$ x =max_{x,y,z} \Rightarrow x \geq y;z$
3 Phương trình trên có thể viết lại thành hệ $\left\{\begin{array}{l}x-\sqrt{y}=1\\y-\sqrt{z}=1\\z-\sqrt{x}=1\end{array}\right. $
$ \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x = \sqrt{y}+1\\y=\sqrt{z}+1\\z=\sqrt{x}+1\end{array}\right. $
Do $ x \geq y \Rightarrow \sqrt{y}+1 \geq \sqrt{z}+1 \Rightarrow y \geq z (1) $
Do $ y \geq z \Rightarrow \sqrt{z}+1 \geq \sqrt{x}+1 \Rightarrow z \geq x (2) $
Từ (1) và (2), Ta có : $ y\geq z \geq x \Rightarrow y = max_{x,y,z} \Rightarrow x = y$
Tương tự , ta sẽ dẫn đến x = y = z .
b, Với
$ x = y = z \geq 0 \Rightarrow x - \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x - \sqrt{x} - 1 = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \Rightarrow x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $
Vậy hệ có nghiệm $ x = \dfrac{3 + \sqrt{5}}{2} $