Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 thnam35

thnam35

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 21-04-2011 - 21:08

Mình có hai bài tìm nghiệm nguyên không âm này mà không biết cách giải, bạn nào biết chỉ mình cách giải nhé, cảm ơn nhiều
1. Có bao nhiêu số nguyên ko âm(x1,x2,x3) thỏa: x1 + x2 + x3 <=15
trong đó x1 > 2, x2 <4
2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 40
thỏa điều kiện:
•2 ≤ x1 ≤ 8
•x2 ≥ 4
•x3 > 3
•x4 < 6

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thnam35: 21-04-2011 - 21:09


#2 khanh3570883

khanh3570883

    Trung úy

  • Thành viên
  • 905 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Địa ngục

Đã gửi 21-04-2011 - 21:40

Mình có hai bài tìm nghiệm nguyên không âm này mà không biết cách giải, bạn nào biết chỉ mình cách giải nhé, cảm ơn nhiều
1. Có bao nhiêu số nguyên ko âm(x1,x2,x3) thỏa: x1 + x2 + x3 <=15
trong đó x1 > 2, x2 <4

Do x2<4 mà x2 nguyên ko âm nên có 4 cách chọn x2 (0;1;2;3)
Ứng với mỗi giá trị của x2 sẽ có: (15-x2)-2 cách chọn x1
Tức là có: (15-0)-2+(15-1)-2+(15-2)-2+(15-3)-2=46 bộ số (x1,x2,x3)
Bài 2 hình như tương tự

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanh3570883: 21-04-2011 - 21:41

  • MIM yêu thích

THẬT THÀ THẲNG THẮN THƯỜNG THUA THIỆT

LƯƠN LẸO LUỒN LỎI LẠI LEO LÊN

 

Một ngày nào đó ta sẽ trở lại và lợi hại hơn xưa


#3 laihuutoan

laihuutoan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 27-10-2011 - 15:29


Mình có hai bài tìm nghiệm nguyên không âm này mà không biết cách giải, bạn nào biết chỉ mình cách giải nhé, cảm ơn nhiều
1. Có bao nhiêu số nguyên ko âm(x1,x2,x3) thỏa: x1 + x2 + x3 <=15
trong đó x1 > 2, x2 <4
2. Tìm số nghiệm nguyên không âm của phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 40
thỏa điều kiện:
•2 ≤ x1 ≤ 8
•x2 ≥ 4
•x3 > 3
•x4 < 6


Bài 2
có x1>=2, x3>=4, x4>=0 => 4<=x2<=40-2-4-0=34
x1>=2, x2>=4, x4>=0 => 4<=x3<=40-2-4-0=34
và 0<=x4<=5
2<=x1<=8

Vậy hàm sinh là
(x^2+x^3+...+x^8)(x^4+x^5+...+x^34)(x^4+x^5+...+x^34)(1+x+x^2+...+x^8)

=> hệ số của x^40 trong khai triển hàm số trên là số nghiệm của phương trình đã cho

Tất nhiên việc sử dụng hàm sinh để giải bài toán trên sẽ đòi hỏi nhiều tính toán trong phép nhân đa thức, và không thích hợp cho việc tính tay. Tuy nhiên việc đó lại được thực hiện dễ dàng trên máy tính.Nếu sử dụng các thuật toán đếm thông thường sẽ rất phức tạp vì vậy cách tiếp cận trên là 1 hướng có thể sử dụng trong điều kiện máy tính phát triển như hiện nay

#4 Nobodyv3

Nobodyv3

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 203 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Hốc bà Tó - phấn đấu làm ĐHV hậu học đại
  • Sở thích:Defective Version

Đã gửi 18-09-2022 - 22:31

Đào bitcoin nào!
Đối với 2 bài toán này, theo mình thì không nhất thiết phải sử dụng đến dao to búa lớn ( hệ thống CAS...) mà chỉ cần với những kiến thức rất cơ bản về tổ hợp lặp, về hàm sinh, về chuỗi ... là ta có thể giải một cách nhẹ nhàng bằng " by pen and paper "cụ thể như sau:
Bài 1: Xét :
$\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=15 \\
x_{1}\geq 3;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{12+3}{3}=\binom{15}{3}$
Xét tiếp :
$ \begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=12 \\
x_{2}\geq 4;x_{2},x_{3},x_{4}\geq 0
\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=8 \\
x_{i}\geq 0
\end{cases}$
có số nghiệm là $\binom{8+3}{3}=\binom{11}{3}$
Vậy số nghiệm thỏa đề bài là :
$ \binom{15}{3}-\binom{11}{3}=455-165=\boxed {290}$
Bài 2:
Ta viết hàm sinh cho từng nghiệm :
$\begin{align*}
x_{1}&\longrightarrow x^{2}+x^{3}+...+x^{8} =\frac{x^2\left(1-x^{7} \right )}{1-x}\\
x_2,x_3 &\longrightarrow \frac{x^{4}}{1-x}\\
x_4 &\longrightarrow 1+x+x^2+...+x^5=\frac{1-x^6}{1-x}
\end{align*}$
Ta có hàm sinh :
$f\left ( x \right )=\frac{x^{10}\left ( 1-x^6 \right )\left (1-x^7 \right )}{\left ( 1-x \right )^4}=\frac{x^{23}+x^{10}-x^{17}-x^{16}}{\left ( 1-x \right )^4}$
Ta tính hệ số của số hạng chứa $x^{40}$ trong khai triển của $f(x)$:
$\left [ x^{40} \right ]f(x)=\left (\left [ x^{17} \right ]+\left [ x^{30} \right ]-\left [ x^{23} \right ]-\left [ x^{24} \right ] \right )\sum_{k=0}^{\infty}\binom{k+3}{3}x^k=\binom{17+3}{3}+\binom{30+3}{3}-\binom{23+3}{3}-\binom{24+3}{3}=\binom{20}{3}+\binom{33}{3}-\binom{26}{3}-\binom{27}{3}= 1140+5456-2600-2925=\boxed {1071}$
Voilà! không dùng computer nhé, chỉ by hand mà thôi.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-09-2022 - 00:43

HOPE

Yesterday is history, tomorrow is a mystery, but today is a gift. That why it's called the present.




2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh