Giải hệ phương trình sau:
$ \left\{\begin{array}{l}x^4+3=4y\\y^4+3=4x\end{array}\right. $
HPT khó
Bắt đầu bởi Ha Pham Ngoc Khanh, 23-05-2011 - 22:06
#1
Đã gửi 23-05-2011 - 22:06
#2
Đã gửi 23-05-2011 - 22:17
Bài 1 : Giải hệ phương trình sau:
$ \left\{\begin{array}{l}x^4+3=4y (1) \\y^4+3=4x (2) \end{array}\right. $ (I)
Giải :
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow x, y > 0$
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế, ta có :
$ x^4 - y^4 = 4y - 4x $
$ \Leftrightarrow ( x - y )( x + y )( x^2 + y^2 ) - 4 ( y - x ) = 0$
$ \Leftrightarrow ( x - y )[ ( x + y )( x^2 + y^2) + 4 ]$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = y (1') \\( x + y )( x^2 + y^2 ) = - 4 (2') \end{array}\right.$
Từ (1' ) $ \Rightarrow x^4 - 4x + 3 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( x - 1 )^2( x^2 + 2x + 3 ) = 0$
$ \Rightarrow x = 1 \Rightarrow x = y = 1$
Do x,y > 0 $ \Rightarrow ( x + y )( x^2 + y^2 ) + 4 > 0$
Phương trình (2') vô nghiệm.
Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 1; 1 )
$ \left\{\begin{array}{l}x^4+3=4y (1) \\y^4+3=4x (2) \end{array}\right. $ (I)
Giải :
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow x, y > 0$
Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế theo vế, ta có :
$ x^4 - y^4 = 4y - 4x $
$ \Leftrightarrow ( x - y )( x + y )( x^2 + y^2 ) - 4 ( y - x ) = 0$
$ \Leftrightarrow ( x - y )[ ( x + y )( x^2 + y^2) + 4 ]$
$ \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x = y (1') \\( x + y )( x^2 + y^2 ) = - 4 (2') \end{array}\right.$
Từ (1' ) $ \Rightarrow x^4 - 4x + 3 = 0 $
$ \Leftrightarrow ( x - 1 )^2( x^2 + 2x + 3 ) = 0$
$ \Rightarrow x = 1 \Rightarrow x = y = 1$
Do x,y > 0 $ \Rightarrow ( x + y )( x^2 + y^2 ) + 4 > 0$
Phương trình (2') vô nghiệm.
Vậy HPT có nghiệm ( x; y ) = ( 1; 1 )
Thế giới này trở nên bị tổn thương quá nhiều không phải bởi vì sự hung bạo của những kẻ xấu xa mà chính bởi vì sự im lặng của những người tử tế
#3
Đã gửi 23-05-2011 - 23:35
theo mình còn có cách hoán vị vòng quanh
giả sử x >= y
==> $x^{4 } >= y^{4} $
==> $ 4y >= 4x$
==> y>= x
Dấu = xảy ra khi x= y =....( chưa tính )
giả sử x >= y
==> $x^{4 } >= y^{4} $
==> $ 4y >= 4x$
==> y>= x
Dấu = xảy ra khi x= y =....( chưa tính )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi .::skyscape::.: 23-05-2011 - 23:36
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh