Chủ đề này có 2 trả lời

[ldhung_94]

Cho $0\le a,b,c \le \dfrac{1}{2}$ thỏa mãn : $ a+b+c=1$

CMR : $ a^3+b^3+c^3+4abc \le \dfrac {9}{32}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 05-06-2011 - 20:19

[truclamyentu]

Cho $0\le a,b,c \le \dfrac{1}{2}$ t/m $ a+b+c=1$
CMR $ a^3+b^3+c^3+4abc \le \dfrac {9}{32}$

Do vai trò a,b,c như nhau giả sử:

$c = m{\rm{ax}}\{ a;b;c{\rm{\} }} \Rightarrow c \in \left[ {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right]$

Ta có :

$\begin{array}{l}A = {a^3} + {b^3} + {c^3} + 4abc - \dfrac{9}{{32}} = {(a + b)^3} - 3ab(a + b) + 4abc - \dfrac{9}{{32}}\\\\= {(1 - c)^3} - 3ab(1 - c) + 4abc - \dfrac{9}{{32}} = 3{c^2} - 3c + \dfrac{{23}}{{32}} + ab(7c - 3)\end{array}$

Xét trường hợp :

$\dfrac{3}{7} \le c \le \dfrac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow ab(7c - 3) \le \dfrac{{{{(a + b)}^2}}}{4}(7c - 3) = \dfrac{{{{(1 - c)}^2}}}{4}(7c - 3)\\\\\Rightarrow A \le \dfrac{1}{{32}}(2c - 1)(28{c^2} - 6c + 1) \le 0\end{array}$

Xét trường hợp :

$\begin{array}{l}\dfrac{1}{3} \le c \le \dfrac{3}{7} \Rightarrow a \le \dfrac{3}{7};b \le \dfrac{3}{7}\\\\ \Rightarrow \left( {\dfrac{3}{7} - a} \right)\left( {\dfrac{3}{7} - {\rm{b}}} \right) \ge 0 \Rightarrow {\rm{ab }} \ge \left( {{\rm{b}} + a} \right) - \dfrac{9}{{49}} = \dfrac{{40}}{{49}} - c\\\\ \Rightarrow A = {\rm{ab}}\left( {{\rm{7c - 3}}} \right) + {\rm{3c}}\left( {c - 1} \right) + \dfrac{{23}}{{32}} \le \left( {7c - 3} \right)\left( {\dfrac{{40}}{{49}} - c} \right) + {\rm{3c}}\left( {c - 1} \right) + \dfrac{{23}}{{32}}\\\\= \left( { - 4{c^2} + \dfrac{{280c}}{{49}} -\dfrac{{12}}{7}} \right) + \left( {\dfrac{{23}}{{32}} - \dfrac{{36}}{{49}}} \right) = - 4\left( {c - \dfrac{3}{7}} \right)\left( {c - 1} \right) - \dfrac{{25}}{{1568}} < 0\end{array}$

Vậy ta có ĐPCM . Dấu "=" khi và chỉ khi một số = 0,5 ; hai số còn lại bằng = 0,25

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi truclamyentu: 05-06-2011 - 19:59

[ldhung_94]

cảm ơn nha. Trường hợp 1/3<= c<= 3/7 mình nghĩ mãi không biết cm thế nào. H thì hiểu rồi