Chủ đề này có 2 trả lời

[wallunint]

Ở một topic cũ, bạn tangkhaihanh có post một bài toán trong THTT số 367 như sau:

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Lời giải mình đã post ở đây: http://diendantoanho...showtopic=58051

Bất đẳng thức trên khá đẹp và khó. Và sau bất đẳng thức này, ta còn có thể có nhiều khám phá rất thú vị.
Các bạn hãy thử chứng minh một số bài toán sau:

Bài1: (Trần Tuấn Anh) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a,b,c \in \left[ {0,1} \right]$. Tìm max của:
$4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài 2: (Wallunint) Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\sum {{a^4}} - abc\left( {\sum a } \right) \geqslant 4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài toán này còn có nhiều mở rộng thú vị. Mình sẽ tiếp tục đưa các mở rộng khác vào lần sau.
Mong các bạn có những khám phá thú vị từ những bất đẳng thức này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 14-07-2011 - 13:52

[NguyThang khtn]

Ở một topic cũ, bạn tangkhaihanh có post một bài toán trong THTT số 367 như sau:

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Lời giải mình đã post ở đây: http://diendantoanho...showtopic=58051

Bất đẳng thức trên khá đẹp và khó. Và sau bất đẳng thức này, ta còn có thể có nhiều khám phá rất thú vị.
Các bạn hãy thử chứng minh một số bài toán sau:

Bài1: (Trần Tuấn Anh) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a,b,c \in \left[ {0,1} \right]$. Tìm max của:
$4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài 2: (Wallunint) Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\sum {{a^4}} - abc\left( {\sum a } \right) \geqslant 4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài toán này còn có nhiều mở rộng thú vị. Mình sẽ tiếp tục đưa các mở rộng khác vào lần sau.
Mong các bạn có những khám phá thú vị từ những bất đẳng thức này.

Đây là một bài tương tự!
Bài 3: (IMO 2006)Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$. Tìm max của:
$P=\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$
Theo gợi ý của wallunint mình chém bài 3 theo AM-GM:
Ta có:
$[3(a^2+b^2+c^2)]^2 =[2(a-b)^2+2(a-c)(b-c)+(a+b+c)^2]^2 \geq$
$ \geq 8|(a-c)(b-c)|[2(a-b)^2+(a+b+c)^2]$
$ \geq 16\sqrt{2}\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)|$
$ \Rightarrow P \leq \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$

[wallunint]

Ở một topic cũ, bạn tangkhaihanh có post một bài toán trong THTT số 367 như sau:

Cho $a, b, c$ là các số thực không âm. Chứng minh rằng
$(a^2+b^2+c^2)^2 \geq 4(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

Lời giải mình đã post ở đây: http://diendantoanho...showtopic=58051

Bất đẳng thức trên khá đẹp và khó. Và sau bất đẳng thức này, ta còn có thể có nhiều khám phá rất thú vị.
Các bạn hãy thử chứng minh một số bài toán sau:

Bài1: (Trần Tuấn Anh) Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a,b,c \in \left[ {0,1} \right]$. Tìm max của:
$4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài 2: (Wallunint) Cho các số thực không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng:
$\sum {{a^4}} - abc\left( {\sum a } \right) \geqslant 4\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$

Bài toán này còn có nhiều mở rộng thú vị. Mình sẽ tiếp tục đưa các mở rộng khác vào lần sau.
Mong các bạn có những khám phá thú vị từ những bất đẳng thức này.

Có ai giải mấy bài này của mình ko nhỉ

Đây là một bài tương tự!
Bài 3: (IMO 2006)Cho $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2$. Tìm max của:
$P=\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)$
Theo gợi ý của wallunint mình chém bài 3 theo AM-GM:
Ta có:
$[3(a^2+b^2+c^2)]^2 =[2(a-b)^2+2(a-c)(b-c)+(a+b+c)^2]^2 \geq$
$ \geq 8|(a-c)(b-c)|[2(a-b)^2+(a+b+c)^2]$
$ \geq 16\sqrt{2}\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)\left( {a + b + c} \right)|$
$ \Rightarrow P \leq \dfrac{9}{16\sqrt{2}}$

Thanks bboy114crew !!! Lâu rồi mới vào lại cái topic này zz Cách giải khác cho bài 3:

Chia 2 trường hợp: $a \geqslant b \geqslant c$ Trường hợp 2: $a \leqslant b \leqslant c$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được:
$\left| {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)} \right| = \left( {b - a} \right)\left( {c - b} \right) \leqslant {\left( {\dfrac{{b - a + c - b}}{2}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{{{\left( {a - c} \right)}^2}}}{4}$
Ta lại có: ${\left( {\dfrac{{\left( {b - a} \right) + \left( {c - b} \right)}}{2}} \right)^2} \leqslant \dfrac{{{{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}$
Từ đó, ta có: $3{\left( {c - a} \right)^2} \leqslant 2\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + {{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]$
Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta được:
$P \leqslant \dfrac{1}{4}\sqrt {{{\left( {c - a} \right)}^6}{{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \leqslant \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sqrt[4]{{{{\left( {\dfrac{{\left[ {{{\left( {b - a} \right)}^2} + {{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]}}{3}} \right)}^3}{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}} \right)$
Từ đó, ta có:
$\begin{gathered}P \leqslant \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}{\left( {\dfrac{{{{\left( {b - a} \right)}^2} + {{\left( {c - b} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2} + {{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{4}} \right)^2} \hfill \\\Leftrightarrow P \leqslant \dfrac{9}{{16\sqrt 2 }}{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} $

Ps: Cách này tuy hơi dài, nhưng dễ dàng hơn trong việc chọn điểm rơi !!!
Các bạn hãy thử giải bất đẳng thức này bằng Holder !!!

ZZ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi wallunint: 15-08-2011 - 13:55