69 replies to this topic

[ToanHocLaNiemVui]

Tìm tất cả các GT của $a$ để HPT sau có nghiệm:

  $\left\{\begin{matrix} \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=a-1 & \\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}+\sqrt{z+1}=a+1& \end{matrix}\right.$

 Mình đã fix lại đề, mọi người zô xem có giải được không nha!

[ILoveMathverymuch]

Giải các PT vô tỷ sau:
1 $\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[4]{x+81}=\frac{3}{2}(x+4)$

2 $\sqrt{\frac{5}{4}-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{\frac{5}{4}-x^{2}-\sqrt{1-x^{2}}}=x+1$

3. $(x+2)(x^{2}-\sqrt{x^{2}+x+2})=x+1$


4. $\frac{\sqrt[3]{7-x}-\sqrt[3]{x-5}}{\sqrt[3]{7-x}+\sqrt[3]{x-5}}=6-x$

Câu 2

Đặt x=sint thay vào phương trình thu được

$cost +\frac{1}{2} +\left | cost -\frac{1}{2} \right | =sin t +1$

đến đây giải pt lương giác cơ bản.

[macqueen]

Biện luận BPT sau:

$\left | f(x) \right |\leq 1$

, với mọi $x\epsilon [0;\frac{\pi }{2}]$

$f(x)=Sin^{2}2x+3(sinx+cosx)^{3}-3sin2x+m$

Edited by macqueen, 28-05-2014 - 22:44.

[King of Maths]

từ pt thứ hai ta có: $(\sqrt{x^2+2012}+x)(\sqrt{y^2+2012}+y)=2012$

nhân lần lượt pt cho: $\sqrt{x^2-2012}+x$và$\sqrt{y^2-2012}+y$

rồi cộng lại ta được: $2(x+y)=0$$\Rightarrow x=-y$ thế vào pt còn lại, OK!

Thế này mới đúng !

[King of Maths]

đề bị sai rồi! vì:

ta xét pt thứ 2 ta thấy rằng:$x^2-x+2=(x-\frac{1}{2})+\frac{7}{4}>0$. nếu vậy thì hệ vô nghiệm rồi! vì phương trình thứ hai sẽ lơn hơn 0 với mọi $x$.

Hoặc từ phương trình $x^2-x+2=0$ ta có thể dùng $\Delta$ để chứng minh nó vô nghiệm.

Edited by King of Maths, 19-09-2014 - 23:38.

[King of Maths]

Giải các PT vô tỷ sau:
1 $\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[4]{x+81}=\frac{3}{2}(x+4)$

2 $\sqrt{\frac{5}{4}-x^{2}+\sqrt{1-x^{2}}}+\sqrt{\frac{5}{4}-x^{2}-\sqrt{1-x^{2}}}=x+1$

3. $(x+2)(x^{2}-\sqrt{x^{2}+x+2})=x+1$


4. $\frac{\sqrt[3]{7-x}-\sqrt[3]{x-5}}{\sqrt[3]{7-x}+\sqrt[3]{x-5}}=6-x$

Câu 2: hướng dẫn sơ thôi. 
* quy đồng trong căn.
* phân tích tử thành hằng đẳng thức.
còn lại thì quá đơn giản.

[BaoTuDau]

Khởi động thôi...

 

1,Giải phương trình:

$16x^{6}-15x^{5}-20x^{4}+20x^{3}+5x^{2}+2x-7=0$

[Ngoc Hung]

Tổng hợp các bài toán phương trình vô tỉ trong các kì thi Olympic 30 tháng 4

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

b) $\sqrt{\frac{1}{2}-x\sqrt{1-x^{2}}}=1-2x^{2}$

c) $\frac{1+3\sqrt{x}}{4x+\sqrt{2+x}}-1=0$

d) $(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

[Ngoc Hung]

Tổng hợp các bài toán phương trình vô tỉ trong các kì thi Olympic 30 tháng 4

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

a) $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

b) $\sqrt{\frac{1}{2}-x\sqrt{1-x^{2}}}=1-2x^{2}$

c) $\frac{1+3\sqrt{x}}{4x+\sqrt{2+x}}-1=0$

d) $(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

 

a) Xem lời giải của Ispectorgadget tại ĐÂY

 

b) Xem tại ĐÂY

[chieckhantiennu]

Tổng hợp các bài toán phương trình vô tỉ trong các kì thi Olympic 30 tháng 4

 

Bài 1: Giải các phương trình sau

a. $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$

d) $(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$

a. (Lời giải khá dài)

ĐK:..

$PT\Leftrightarrow x(x-2)(x+2)+\frac{(x-2)(x+1)}{x+\sqrt{x+2}}=0 \Leftrightarrow (x-2)[x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}]=0$

Giải $x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}=0$

$\Leftrightarrow (x+2)(x^2+x\sqrt{x+2})+x+1=0$

$\Leftrightarrow x^2(x+2)+2x\sqrt{x+2}+x^2\sqrt{x+2}+x+1=0$

$\Leftrightarrow (x\sqrt{x+2}+1)(x\sqrt{x+2}+x+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\sqrt{x+2}+1=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}& \\ x\sqrt{x+2} +x+1(2)& \end{bmatrix}$

Giải (2)$\Leftrightarrow x^3+x^2-2x-1=0$

Dùng Cardano để giải pt (2)

 

d. Đặt $\left\{\begin{matrix} x+1=a\geq 0 & \\ \sqrt{x^2-2x+3}=b\ge 0 & \end{matrix}\right.$

$(d)\Leftrightarrow (b-2)(b+2-a)$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=2\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=2\rightarrow x =-1\pm \sqrt{2} & \\ b+2=a\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=x-1(binh phuong) & \end{bmatrix}$

[Ngoc Hung]

Bài 2: Giải các phương trình sau

          a) $x^{4}+2006x^{3}+1006009x^{2}+x-\sqrt{2x+2007}+1004=0$

          b) $\left ( x-x^{2} \right )\left ( x^{2}+3x+2007 \right )-2005x\sqrt{4-4x}=30\sqrt[4]{x^{2}+x-1}+2006$

          c) $\sqrt[3]{2x+1}+1=x^{3}+3x^{2}+2x$

          d) $2x^{2}-11x+21=3\sqrt[3]{4x-4}$

[Louis Lagrange]

Giải các PT vô tỷ sau:
1 $\sqrt{x+1}+\sqrt[3]{x+8}+\sqrt[4]{x+81}=\frac{3}{2}(x+4)$

Điều kiện: $x\geq -1$

Áp dụng BĐT AM-GM cho Vế Trái ta có:

$\frac{3x}{2}+6=VP=VT\leq \frac{x+2}{2}+\frac{x+24}{12}+\frac{x+324}{108}=\frac{16x}{27}+6$

$\Rightarrow x\leq 0$

phương trình đã cho tương đương với:

$(2\sqrt{x+1}-2)+(2\sqrt[3]{x+8}-4) +(2\sqrt[4]{x+81}-6)=3x$

$\Leftrightarrow x=0$ hoặc $\frac{2}{\sqrt{x+1}+1}+\frac{2}{\sqrt[3]{(x+8)^{2}}+2\sqrt[3]{x+8}+4}+\frac{2}{(\sqrt{x+81}+9)(\sqrt[4]{x+81}+3)}=3$

Đặt biểu thức vế trái là $f(x)$. Vì $x\in [-1;0]$ nên $VT=f(x)\leq f(-1)\approx 2,2< 3=VP$.

Phương trình vô nghiệm.

Tóm lại phương trình đã cho có nghiệm $x=0$   

[Element hero Neos]

Giải phương trình sau: $x^{2}+7x+14+2\sqrt{14}i$

[tcqang]

THTT tháng 9/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, nên các bạn có thể thoải mái trao đổi lời giải nhé)

$\frac{2x^3 +3x}{7-2x} > \sqrt{2-x}$

[tcqang]

THTT tháng 9/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, nên các bạn có thể thoải mái trao đổi lời giải nhé)

$\frac{2x^3 +3x}{7-2x} > \sqrt{2-x}$

Đáp số: $1 <x\le 2$.

[anhquannbk]

Đáp số: $1 <x\le 2$.

 

Attached Images

• 

Edited by anhquannbk, 24-12-2015 - 09:09.

[tcqang]

 

Cách giải trên hoàn toàn đúng, mấu chốt bài này chính là phát hiện được hàm đặc trưng f(t) đơn điệu. Tuy nhiên, trong lời giải trên, chúng ta có thể lý luận một tí là đánh giá được $0 \le x \le 2$, từ đó sẽ nhân chéo quy đồng làm trực tiếp 1 trường hợp sẽ gọn hơn.

Edited by tcqang, 24-12-2015 - 10:30.

[tcqang]

Tìm $m$ để phương trinh sau có đúng một nghiệm duy nhất:
$x^3 -2m = 3 \sqrt[3]{3x+2m}$

Edited by tcqang, 04-01-2016 - 17:21.

[tcqang]

THTT tháng 10/2015 (đã hết hạn nhận bài giải, các bạn có thể thoải mái trao đổi cách giải của mình)

Tìm $p,q$ để hệ phương trình:

$x^2+y^2+5=q^2+2x-4y$ và $x^2+(12-2p)x+y^2 =2py+12p-2p^2-27$

có 2 nghiệm $(x_1;y_1)$ và $(x_2;y_2)$ thỏa mãn điều kiện $x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 +y_2^2$.

[tcqang]

Tìm $m$ để phương trinh sau có đúng một nghiệm duy nhất:

$x^3 -2m = \sqrt[3]{3x+2m}$

Biến đổi về theo phương trình hàm đặc trưng $f(t) = t^3 + 3t$ sẽ thu được $x^3 - 3x = 2m$.

Khảo sát hàm số $g(x) = x^3 - 3x$ sẽ có kết quả $m>1$ hoặc $m<-1$.

Edited by tcqang, 04-01-2016 - 06:18.