Tổng hợp các bài toán phương trình vô tỉ trong các kì thi Olympic 30 tháng 4
Bài 1: Giải các phương trình sau
a. $x^{3}-3x=\sqrt{x+2}$
d) $(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^{2}+1$
a. (Lời giải khá dài)
ĐK:..
$PT\Leftrightarrow x(x-2)(x+2)+\frac{(x-2)(x+1)}{x+\sqrt{x+2}}=0 \Leftrightarrow (x-2)[x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}]=0$
Giải $x(x+2)+\frac{x+1}{x+\sqrt{x+2}}=0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x^2+x\sqrt{x+2})+x+1=0$
$\Leftrightarrow x^2(x+2)+2x\sqrt{x+2}+x^2\sqrt{x+2}+x+1=0$
$\Leftrightarrow (x\sqrt{x+2}+1)(x\sqrt{x+2}+x+1)=0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\sqrt{x+2}+1=0 \Leftrightarrow x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}& \\ x\sqrt{x+2} +x+1(2)& \end{bmatrix}$
Giải (2)$\Leftrightarrow x^3+x^2-2x-1=0$
Dùng Cardano để giải pt (2)
d. Đặt $\left\{\begin{matrix} x+1=a\geq 0 & \\ \sqrt{x^2-2x+3}=b\ge 0 & \end{matrix}\right.$
$(d)\Leftrightarrow (b-2)(b+2-a)$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} b=2\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=2\rightarrow x =-1\pm \sqrt{2} & \\ b+2=a\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x+3}=x-1(binh phuong) & \end{bmatrix}$