Chủ đề này có 8 trả lời

[cuacon1599]

1) Trong mặt phẳng cho 6 điểm trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. nối 6 điểm này với nhau bằng các đoạn thẳng và tô màu xanh hoặc đỏ. chứng tỏ có 1 tam giác có cạnh cùng màu
2)CMR: có 1 số tự nhiên chỉ gồm chữ số 5và 0 chia hết cho 1993
3) Cho a,b,c,d,e,g là các số nguyên và a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=g^2. chứng tỏ tích a.b.c.d.e.g là số chẵn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuacon1599: 29-07-2011 - 22:12

[phuonganh_lms]

Bài 3: Tìm số dư trong phép chia $109^{345}$ cho 14
$ 109^3 \equiv 1$ (mod 14)
$ 109^{345} \equiv 1$ (mod 14)
Bài 1 thiếu điều kiện

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phuonganh_lms: 29-07-2011 - 22:12

[cuacon1599]

nhưng đề bài 1 nó thế thì làm sao ạ (thanks Bài 3: Tìm số dư trong phép chia 109^345 cho 14)

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Bài 3: Cho a,b,c,d,e,g là các số nguyên và $ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=g^2 $ . Chứng tỏ tích a.b.c.d.e.g là số chẵn.
Giải : Nếu một trong 5 số đều chẵn. Bài toán được chứng minh.
Nếu các số a, b, c, d, e đều là số lẻ.

Ta thấy, bình phương của một số lẻ luôn đồng dư với 1 theo mod của 8.
Thật vậy, ta có :
$ ( 2k + 1 )^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k( k + 1 ) + 1$

Tích hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết 2. Do đó k.( k + 1 ) chia hết cho 2.
Vì vậy 4k( k + 1 ) chia hết cho 8.
Suy ra 4k( k + 1 ) + 1 chia 8 dư 1 hay $ ( 2k + 1 )^2 $ $\equiv $ $1( mod 8 )$

Với a, b, c, d, e lẻ. Ta có :
$ VT $ $ \equiv$ $ 5( mod 8 )$

Mặt khác, với g lẻ :
$ VF$ $ \equiv$ $ 1( mod 8 )$

Khi đó, phương trình ban đầu không có nghiệm nguyên.
Vậy trong 6 số nói trên tồn tại ít nhất một số chẵn hay nói cách khác tích a.b.c.d.e.g là số chẵn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 29-07-2011 - 22:36

[caubeyeutoan2302]

1) Trong mặt phẳng cho 6 điểm trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. nối 6 điểm này với nhau bằng các đoạn thẳng và tô màu xanh hoặc đỏ. chứng tỏ có 1 tam giác có cạnh cùng màu

Bài 1 này là một bài khá quen thuộc nhưng rất hay
Ta hãy chọn 1 trong 6 điểm đó và coi nó là điểm gốc , đặt là A
Nối A với 5 điểm còn lại lần lượt là A1,A2,A3,A4,A5
Tới đây ta sử dụng 2 PP chính là Nguyên lí Đirichlet và tô màu đồ thị
Vì 1 trong 5 cạnh AAi( i chạy từ 1 đến 5) mà chỉ được tô 1 trong 2 màu đó là xanh hay đỏ, Suy ra tồn tại 3 đoạn được tô cùng màu , tạm cho là tô cùng màu xanh và 3 đoạn là AA1,AA2,AA3
Xét tiếp nếu trong 2 đoạn A1A2 , A2A3 được tô màu xanh thì các tam giác AA1A2 hay AA2A3 có các cạnh cùng màu xanh , ngược lại giả sử là cả 2 cạnh A1A2, A2A3 đều tô màu đỏ . Lại chú ý tới đoạn A1A3 , nếu đoạn này được tô màu đỏ thì tam giác A1A2A3 là tam giác có các cạnh cùng màu đỏ . ngược lại nếu đoạn A1A3 màu xanh thì theo giả thuyết lúc đầu thì sẽ có tam giác AA1A3 lại là tam giác có các cạnh cùng màu xanh .

Phát biểu bài toán 1 dưới dạng khác :
Chứng minh rằng trong 6 người bất kì luôn chọn được 1 bộ 3 người đôi một quen nhau hay là không quen nhau .
Bài toán khó hơn
Hãy sử dụng điều kiện cho ở trên tuy nhiên yêu cầu lại đổi 1 bộ thành 2 bộ khác nhau ( Chú ý rằng 2 bộ khác nhau nếu tồn tại ít nhất 1 người khác nhau
( PP thì giống như bài trên nhưng cách biện luận thì dài hơn nhiều , Đây là bài toán anh Lê Phúc Lữ đã từng đề cập , mình post lên xem các bạn có ý kiến gì về sự mở rộng này không )

[cuacon1599]

thanks mọi người nha
Nhưng moi người làm bài 2 hộ đc ko. Em làm đc 2 bài kia rùi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cuacon1599: 30-07-2011 - 20:14

[cuacon1599]

thanks mọi người nhìu nhìu , giúp em nốt bài 2 nha.

[Crystal]

1) Trong mặt phẳng cho 6 điểm trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng. nối 6 điểm này với nhau bằng các đoạn thẳng và tô màu xanh hoặc đỏ. chứng tỏ có 1 tam giác có cạnh cùng màu

Một bài tương tự.

Cho 6 điểm trong mặt phẳng sao cho 3 điểm bất kỳ trong 6 điểm đã cho tạo nên một tam giác có độ dài các cạnh khác nhau. Chứng minh rằng cạnh nhỏ nhất của một trong những tam giác tạo thành là cạnh lớn nhất của một tam giác khác.

---------------------

KHÔNG THỬ SAO BIẾT!!!

[Hoa Hồng Lắm Gai]

có 1 số tự nhiên chỉ gồm chữ số 5và 0 chia hết cho 1993

Bài giải ( mình giải theo nguyên lí dirichle ). Có gì sai mọi người góp ý

Giả sử cho dãy gồm 1994 số: 50,5050,...., ( * )

một số tự nhiên khi chia cho 1993 chỉ nhận 1 trong 1993 số dư: 0,1,2,3,..,1992

Như vậy khi lấy 1994 số trong dãy ( * ) chia cho 1993 thì tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư, giả sử là: và (1 n m 1994)

khi đó:

Vậy: có 1 số tự nhiên chỉ gồm chữ số 5và 0 chia hết cho 1993

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoa Hồng Lắm Gai: 08-08-2011 - 14:43